Group delay和phase delay是怎么影响信号的？

    

   

本文摘要：（由ai生成）

本文探讨了线性时不变系统（LTI System）的基本概念，包括系统定义、传输函数、无失真传输，以及群时延（group delay）和相位时延（phase delay）的定义和影响。文章基于YT视频和个人思考，分析了群时延和相位时延对信号的影响，并通过频域分析解释了这些影响。作者提出，群时延波动可能是宽带信号要求群时延波动低的原因之一，并邀请基带算法领域的专家进行探讨。最后，文章列出了参考文献，以供进一步研究。

今日碎碎念

今天这篇文章，从昨天就开始写了，然后到现在才完成。

起因是在YT上看到一个视频，描述群时延和相位时延是如何体现在频谱上的，觉得有一点点那个意思。知道群时延波动会对系统产生影响，但是具体到底怎样产生影响的，则没有什么概念。

以下这篇文章，是基于YT上的一些视频，然后又加入了自己的一些思考形成的。但是因为是自己的思考，不对的可能性也非常大。欢迎大家指正。

   

   

今日正文

(1)  什么是线性时不变系统(LTI System)?

线性时不变系统，英文全称是linear time-invariant system，简称LTI System。

线性时不变系统，即这个系统既是线性系统，又是时不变系统。

所谓线性系统，即表示系统满足叠加关系，如下图所示。

所谓时不变系统，即满足下列等式，如下图所示：

即，输入的时延会等量的反应到输出上。

(2) 线性时不变系统的传输函数

线性时不变系统，可以用系统的冲激响应来表示，即当输入为冲激函数δ(t)时，系统的输出响应。同时结合LTI系统所满足的线性和时不变特性，推导出输入x(t)，输出y(t)和冲激响应h(t)之间的关系，如下图所示。可以看到，LTI系统的输出，是其输入与系统冲激响应的卷积。

对等式两端求傅里叶变换，可以得到：

H(f)即定义为LTI系统的传输函数，为Y(f)和X(f)的比值，也为系统的冲激响应对应的傅里叶变换，即：

同时，传输函数H(f)还可以分成两部分来表示，一部分为幅度，一部分为相位，即：

(3) 无失真线性时不变系统

对于小信号射频链路而言，我们希望这个线性时不变系统是无失真的，即信号通过这个系统时，相当于把信号从一个时间点上平移到另一个时间点上，除了幅度等比例放大或缩小外，其他都不变。

无失真线性时不变系统，即表示既无幅度失真，也无相位失真。

所谓幅度失真，就是不同频率处幅度的放大或缩小的比例不一致，即上图中的K随频率变化。所谓相位失真，就是不同频率处相位时延(phase delay)不一致，即上图中的t0随频率变化。

而无幅度失真和无相位失真，即表示K和t0都是恒定值。

无失真线性时不变系统的传输函数H(f)的幅度和相位响应，可以用下图来表示。

(4) group delay和phase delay的定义

群时延(group delay)和相位时延(phase delay)的定义如上图所示。

按照上面的定义，计算无失真线性时不变系统传输函数对应的phase delay和group delay，发现两者是相等的，如下图所示。

(5) 那群时延和相位时延分别是怎么影响着信号的呢？

假设输入是一个带包络的窄带调制信号，那么可以推导出这个信号经过LTI系统后，群时延和相位时延对它的影响，如下图所示。

(6) 从频域看看这个影响？

假设系统为无失真线性时不变系统，则τp=τg，并假设输入信号是带包络的窄带调制信号，如下图所示。

则输出信号的频谱为：

在相应的假设下，输出信号的频谱为：

也就是说，group delay对应于m(t)个频率分量的角度旋转，上面是假设τg是不随频率变化的，旋转角度是有规律可言的；但一般滤波器的群时延，都有一个波动，这会导致旋转角度没有规律，而且基带频率的地方，角度旋转的越多。不知道，这是不是宽带信号要求群时延波动更低的底层原因？

而phase delay则对应于载波的角度旋转，因为这边的假设，载波的旋转角度正好是200pi，正好是周期的整数倍，所以没有在图中体现出旋转角度的量。

我想基带算法部分，对固定的群时延应该能够纠正，但是对于群时延波动，不知道行不行？欢迎基带算法的同学，留言探讨。

参考文献：

[3] Qizheng Gu，RF SYSTEM DESIGN  OF TRANSCEIVERS FOR WIRELESS COMMUNICATIONS