首页/文章/ 详情

三维梁单元的转换矩阵

6月前浏览2150

向量在不同坐标系之间的转换关系有统一的公式。设局部坐标系    的三个轴    在整体坐标系    中的方向余弦分别是    ,    和    。那么一个在局部坐标系中定义的向量与它相应的整体坐标系下的向量的转换矩阵为

 

由于空间梁单元的每个结点都有6个位移,可组成两个三维的向量,因此它的结点位移共有4个三维的向量,转换矩阵相应地为

 

一般说来,对于梁单元的轴线方向    轴,它的方向余弦是能够通过两个结点的坐标直接求得的,但是对于截面主轴     和    的方向余弦,必须给出附加信息才能确定。现在来推导梁单元转换矩阵    的转换公式。

  •      轴在      坐标系中的方向余弦

设    和    为节点    和    在整体坐标系    中的坐标。如图1所示

   轴的三个方向余弦跟空间杆单元的一样

 

若以    和    表示整体坐标系下沿三个坐标轴方向的单位矢量,则    轴的单位矢量    可以写成

 
  •      轴在      坐标系中的方向余弦

在梁单元的主形心惯性平面(    平面)上取一点     ,该点在整体坐标系中的坐标为    ,若用    表示    方向的单位矢量,则有

 

其中

 

根据矢量的外积法则,    轴的单位矢量    可以写成

 

其中

 
  •      轴在      坐标系中的方向余弦

按照矢量乘法,    轴在    坐标系中的方向余弦是

 

其中

 

综上,得到局部坐标系和整体坐标系之间位移的转换矩阵为

 

因此,在计算空间梁单元的转换矩阵时,必须提供附加点    的坐标,来确定梁单元的主平面。这是与平面梁单元和杆单元的不同之处。    点坐标只需与    节点    坐标不同即可。图2所示为ANSYS软件中beam188单元的K点。



来源:数值分析与有限元编程
ANSYS
著作权归作者所有,欢迎分享,未经许可,不得转载
首次发布时间:2024-05-19
最近编辑:6月前
太白金星
本科 慢慢来
获赞 5粉丝 13文章 325课程 0
点赞
收藏
作者推荐

有限元 | 梁的弹性稳定分析(一)

▲图1图1为受分布载荷作用的简支梁,该问题平衡微分方程的如下 该平衡方程建立在未变形时,即忽略了变形的影响。▲图2如图2所示,简支梁在横向均布荷载 作用下产生的弯矩为 ,挠度为 。轴向荷载F会在 的基础上产生力矩 如果 为拉力,则 会减小,则最终弯矩范围 如果 为压力,则 会增加,则最终弯矩范围 可见细长梁在轴向力作用下的弯曲,有必要检查变形之后的平衡(即使变形很小)。▲图3如图3所示,细长梁上的任一微段 , 是其变形之前的位置, 为变形后的位置。该微段的受力分析如图4所示▲图4由 得 式中 (2)代入(1)得 对于充分小的 ,有 ,则(3)可写成 注意到 ,(4)可写成 关于B点的力矩平衡,有 注意到 由于 ,(6)可以写成 忽略(7)的高阶项,有 (8)代入(5)有 (9)就是考虑轴向荷载时梁的平衡微分方程。来源:数值分析与有限元编程

未登录
还没有评论
课程
培训
服务
行家
VIP会员 学习 福利任务 兑换礼品
下载APP
联系我们
帮助与反馈