CFD|FVM、FDM、FEM哪个好？
本文摘要：（由ai生成）
CFD数值计算中的有限元(FEM)、有限体积(FVM)和有限差分(FDM)三种方法各有特点。FEM和FVM对复杂几何区域适应性强，是工程软件的首选。FVM关注节点间的流量，直观表达流体物理现象，但需确保流量守恒。早期FVM限于结构化网格，存在阶梯状现象和计算时间长的问题。FEM在1980年代开始应用于CFD，结合了FVM的数值近似技术，适用于复杂几何形状，计算更准确高效。
在CFD数值计算算法上分有限元（FEM) 、有限体积（FVM)、有限差分(FDM)三种常见的方法。三种方法各有优缺点，三种方法中有限元和有限体积对计算域（几何区域）复杂度适应性好，成为工程软件首选。
在有限元法（FEM，Finite Element Method）和有限体积法（FVM，Finite Volume Method）中，哪种更好？此文分享专家Rita Schnipke的观点，供参考
从有限差分法(FDM)到有限体积法(FVM)的发展
FVM方法考虑从节点到另一个节点的流量(flux)，而不是使用FDM中使用的数学表达式。由于流体在确定的解析区域内流动，考虑流动可以直观地表达流体的物理现象本质。然而，在FVM中，必须确保流量准确地被保留才能获得实用的结果。换句话说，FVM通过满足流动守恒来获得CFD问题的解，而不是通过在节点处进行数学计算。
早期的FVM算法只能应用于由矩形形状或结构化网格组成的解析区域。这是因为开发人员只能通过结构化网格来直观理解流量守恒理论。此外，使用结构化网格可以更容易开发CFD代码。因此，直到今天，一些基于FVM的CFD程序仅使用结构化网格构成的解析区域。
然而，如果解析区域需要定义除了矩形形状之外的其他形状，那么就无法再应用结构化网格。换句话说，如果需要定义除了复杂形状之外的其他形状，那么就无法再应用结构化网格。换句话说，复杂的形状使得网格无法准确反映形状。阶梯状(stair step)现象很好地说明了这一点。
阶梯状(stair step)现象和计算所需时间
图1展示了基于曲线的圆形面反映为结构化网格的情况。该图显示了典型的阶梯状(stair step)现象。如图所示，绿色矩形集 合表示的结构化网格未能准确地反映出红色边框的圆形面。这就是所谓的阶梯状(stair step)现象。
结构化网格的另一个问题是当需要解决具有密集网格的流体力学问题时，计算时间会变得非常长。图2显示了解决二维翼型阵列 (cascade)流动所需的网格单元。
图2翼型阵列 (cascade)流动结构化网格
在这种情况下，机翼(foil)密集的网格周围延伸到右侧端点边界条件，这种结构化网格在三维中应该沿着三个坐标方向保持相同数量的网格。这意味着密集的网格必须延伸到具有高变化率的解析区域，这样做会导致计算时间非常长，因为这么多的网格需要大量的计算时间。
那么当时为什么开发人员没有采用非结构化网格呢？一些人认为，尽管一些开发正在采用非结构化网格需求的FVM，但是完全将FVM算法应用于非结构化网格需要巨大的努力。即使应用了非结构化网格，也会因其性质而导致各种数值不稳定性(instability)。此外，在非结构化网格中，必须确定任何点处的任意流动，这需要大量的计算。
用于CFD的有限元方法(FEM)
1980年代初期，包括Onate教授、Hughes教授在内的CFD研究人员开始研究有限元方法(FEM)。其中大多数人已经成功地将FEM应用于结构分析。事实上，长期以来，有限元结构分析(FEA)通常都是在结构分析中应用FEM。
然而，将FEM应用于CFD并不容易。换句话说，早期将FEM引入CFD的研究人员在将FVM研究中获得的经验和理论应用于基于FEM的CFD时遇到了许多困难。此外，由于CFD的控制方程是非线性的和连续的，因此需要特殊的近似技术。然而，早期的FEM研究人员对这些近似技术并不熟悉，并认为这些技术非数学性。同时，正如前文所述，尽管FVM被普遍认为是解决复杂CFD问题的有效方法，但是仍然存在着非高效的网格生成问题。
以FEM为基础的CFD开发者Rita Schnipke是1990年代中期弗吉尼亚大学（University of Virginia）CFD研究小组的创始成员，她拥有广泛的实践经验，专注于电力能源行业的FVM代码开发。当时，弗吉尼亚大学的CFD研究小组决定将FEM的基本加权积分方法(basic-weighted integral) 应用于速度和压力的偏微分方程离散化，并着手开发。该研究小组还引入了FVM的数值近似技术和相关算法到这种FEM的方法中。通过将基本加权积分方法与FVM的近似技术和各种算法相结合，正在开发具有FVM级别计算性能的CFD代码。通过这种基于FEM的CFD代码，我们能够对真实现象的复杂几何形状进行更准确、更高效的计算。这种基于FEM的代码将FEM和FVM的计算方法融合在一起，但由于其基础开发基础是FEM，我们将其称为FEM基础的CFD（FEM-based CFD）
两种方法的优势融合：基于有限元方法的CFD
基于有限元方法(FEM)的CFD已经成功地证明适用于大多数CFD问题，如流体机械(turbo machinery)、燃烧(combustion)、高速外部流动(external flow)等。其中一个使用的CFD代码是midas NFX-CFD中使用的TDyn。从CFD用户的角度来看，基于有限元方法的方法的核心优势如下：
对于难以生成网格的复杂几何形状，有限元方法通常更容易生成普通的网格，并且可以生成更精确的四面体网格，因此可以比有限体积法(FVM)更有效地进行计算。
基于有限元方法的通常更容易与其他CAD和CAE软件集成，例如结构分析软件等。
有限体积法(FVM)的主要优势在于CFD开发人员比FEM更早地开始了其开发，因此相对而言，有限体积法的发展更为成熟。然而，这种FVM优点的感受度将无法与CFD学界一起从新改进的有限单元法(FEM)的快速进步中衍生出来的优点相比。
小结
在这种有限元方法(FEM)和有限体积法(FVM)相结合的特殊代码开发背景下，midas NFX CFD的开发人员将充分结合这两种方法的优点，可以肯定的是，CFD的核心方法是基于有限元方法(FEM)。
