本文摘要:(由ai生成)
本文探讨了线性时不变系统(LTI System)的基本概念,包括系统定义、传输函数、无失真传输,以及群时延(group delay)和相位时延(phase delay)的定义和影响。文章基于YT视频和个人思考,分析了群时延和相位时延对信号的影响,并通过频域分析解释了这些影响。作者提出,群时延波动可能是宽带信号要求群时延波动低的原因之一,并邀请基带算法领域的专家进行探讨。最后,文章列出了参考文献,以供进一步研究。
今日碎碎念
今天这篇文章,从昨天就开始写了,然后到现在才完成。
起因是在YT上看到一个视频,描述群时延和相位时延是如何体现在频谱上的,觉得有一点点那个意思。知道群时延波动会对系统产生影响,但是具体到底怎样产生影响的,则没有什么概念。
以下这篇文章,是基于YT上的一些视频,然后又加入了自己的一些思考形成的。但是因为是自己的思考,不对的可能性也非常大。欢迎大家指正。
今日正文
(1) 什么是线性时不变系统(LTI System)?
线性时不变系统,英文全称是linear time-invariant system,简称LTI System。
线性时不变系统,即这个系统既是线性系统,又是时不变系统。
所谓线性系统,即表示系统满足叠加关系,如下图所示。
所谓时不变系统,即满足下列等式,如下图所示:
即,输入的时延会等量的反应到输出上。
(2) 线性时不变系统的传输函数
线性时不变系统,可以用系统的冲激响应来表示,即当输入为冲激函数δ(t)时,系统的输出响应。同时结合LTI系统所满足的线性和时不变特性,推导出输入x(t),输出y(t)和冲激响应h(t)之间的关系,如下图所示。可以看到,LTI系统的输出,是其输入与系统冲激响应的卷积。
对等式两端求傅里叶变换,可以得到:
H(f)即定义为LTI系统的传输函数,为Y(f)和X(f)的比值,也为系统的冲激响应对应的傅里叶变换,即:
同时,传输函数H(f)还可以分成两部分来表示,一部分为幅度,一部分为相位,即:
(3) 无失真线性时不变系统
对于小信号射频链路而言,我们希望这个线性时不变系统是无失真的,即信号通过这个系统时,相当于把信号从一个时间点上平移到另一个时间点上,除了幅度等比例放大或缩小外,其他都不变。
无失真线性时不变系统,即表示既无幅度失真,也无相位失真。
所谓幅度失真,就是不同频率处幅度的放大或缩小的比例不一致,即上图中的K随频率变化。所谓相位失真,就是不同频率处相位时延(phase delay)不一致,即上图中的t0随频率变化。
而无幅度失真和无相位失真,即表示K和t0都是恒定值。
无失真线性时不变系统的传输函数H(f)的幅度和相位响应,可以用下图来表示。
(4) group delay和phase delay的定义
群时延(group delay)和相位时延(phase delay)的定义如上图所示。
按照上面的定义,计算无失真线性时不变系统传输函数对应的phase delay和group delay,发现两者是相等的,如下图所示。
(5) 那群时延和相位时延分别是怎么影响着信号的呢?
假设输入是一个带包络的窄带调制信号,那么可以推导出这个信号经过LTI系统后,群时延和相位时延对它的影响,如下图所示。
(6) 从频域看看这个影响?
假设系统为无失真线性时不变系统,则τp=τg,并假设输入信号是带包络的窄带调制信号,如下图所示。
则输出信号的频谱为:
在相应的假设下,输出信号的频谱为:
也就是说,group delay对应于m(t)个频率分量的角度旋转,上面是假设τg是不随频率变化的,旋转角度是有规律可言的;但一般滤波器的群时延,都有一个波动,这会导致旋转角度没有规律,而且基带频率的地方,角度旋转的越多。不知道,这是不是宽带信号要求群时延波动更低的底层原因?
而phase delay则对应于载波的角度旋转,因为这边的假设,载波的旋转角度正好是200pi,正好是周期的整数倍,所以没有在图中体现出旋转角度的量。
我想基带算法部分,对固定的群时延应该能够纠正,但是对于群时延波动,不知道行不行?欢迎基带算法的同学,留言探讨。
参考文献:
[3] Qizheng Gu,RF SYSTEM DESIGN OF TRANSCEIVERS FOR WIRELESS COMMUNICATIONS