Newton–Raphson法解串联弹簧问题_非线性

Newton–Raphson法解串联弹簧问题

非线性方程组的求解方法一般是作线性化处理，搭建迭代格式。具体参见

非线性方程（组）迭代解法

如图所示的串联弹簧，F=100，弹簧刚度为k1 = 50 + 500u ，k2 = 100+ 200u ，u是弹簧伸长量，则平衡方程为

k1，k2带入得

Newton–Raphson方法就是一种线性迭代方法，其算法如下：

1 设置初值tol=0.001，迭代步i=0，最大迭代数max_iter=20以及初始位移u；
2 计算不平衡力 R=f–P(u)；

3 计算误差conv，如果conv<tol，则停止迭代

4 计算切线刚度矩阵KT；

5 计算位移增量Δu；

6 计算当前位移u=u+Δu；

7 迭代步数i=i+1，若i>max_iter,则停止迭代；
8 返回第二步。

MATLAB代码如下

输出结果

荷载位移曲线

来源：数值分析与有限元编程

Lagrange插值构造位移场函数

本文摘要（由AI生成）：插值法是通过构造多项式函数来近似计算未知点的方法。该方法确保多项式通过所有已知点，进而用于预测位置点。对于n个节点的单元，多项式插值可达到n-1阶。例如，当n=2时，可构造一次多项式。在杆单元中，假定轴向位移按线性变化，可构建位移函数以模拟原位移场。这种方法以线性变化的位移场模拟原位移场，并通过形函数、插值位移函数等图形展示。插值法就是一个从已知点近似计算未知点的近似计算方法，即构造一个多项式函数，使其通过所有已知点，然后用求得的函数预测位置点。构造一个多项式li(x），让n=i的时候li(x）=1，当n≠i时候li(x）=0，这样就保证了li(x）通过每一个(xi，yi）点，符合插值原理。这个就是插值多项式系数，它保证了li(xi)=1，而带入其他点都为0，yi*li(xi）就得到插值多项式的每一项，这个多项式通过每一个已知点。因此，对于n个节点的一维单元，节点坐标为（xi，yi）（i=1，2，...，n），多项式插值可达n-1阶,例如：n=2时可构造一次多项式。这样可以构造杆单元的轴向位移（应变）场。假定单元的轴向位移按照线性变化，在自然坐标系下，单元内任意一点的位移表达式为由此可看出，位移函数为线性函数，即在单元内以一个线性变化的位移场模拟原位移场。形函数，插值位移函数及原位移函数的图形如图所示：来源：数值分析与有限元编程