共旋坐标法( 二 )

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以平面杆单元为例，共旋坐标法的基本思想可由图1来描述。其中有两个坐标系和三个构型。共旋坐标法分别是整体坐标系Xg-Yg和局部坐标系xe-ye，整体坐标系始终固定不动，而局部坐标系始终固定在杆轴方向上，即随着杆件一同转动。三个构型分别是初始构型Ⅰ，刚体运动后的构型Ⅱ以及单元变形后的构型（当前构型）Ⅲ。节点在整体坐标系下的坐标用（x，y）表示，位移用（u，v）表示。单元运动由刚体平动、刚体转动以及单元变形三部分组成。

共旋坐标法的基本思想为：将单元从初始构型到当前构型的大位移，小应变运动分解为从构型Ⅰ到构型Ⅱ刚体运动叠加上从构型Ⅱ到构型Ⅲ的小变形运动。也就是说，单元从构型Ⅱ到构型Ⅲ的变形为小变形，符合小变形力学分析的所有假设和理论，因而适用于小变形分析的方法理论在这里可直接使用。这样一来，问题的关键就变为如何描述单元从构型Ⅰ到构型Ⅱ的刚体运动（平动和转动），以及整体变量和局部变量之间的转化。

来源：数值分析与有限元编程

理论

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首次发布时间：2024-04-01

共旋坐标法( 一 )

共旋坐标法( Co-Rotational Formulation )最早由Wempner、Belytschko和Hsieh在20世纪70年代提出，用以处理实际过程中经常遇到的大转动、小应变问题。20世纪90年代前后，非线性有限元大牛，英国学者Crisfield教授在共旋坐标法的研究中做了大量的工作，先后推导了空间梁单元、实体单元、壳单元等的共旋列式，并同TL法( Total-Lagrange Formulation )、UL法( Updated-Lagrange Formulation )作了详细比较。经过多年发展，共旋坐标法已经被证明在大转动、小应变分析时具有更高的计算效率。下面是一个悬臂梁的几何非线性分析，分别采用Total-Lagrange Formulation和Co-Rotational Formulation得到的应力云图。可以看出，Co-Rotational Formulation得到的应力云图更直观，符合平截面假定。▲ TL法得到的应力云图▲ CR法得到的应力云图来源：数值分析与有限元编程

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