Gauss-Seidel迭代法解线性方程组

本文摘要（由AI生成）：本文讨论了线性方程组求解的两种方法：高斯消元法和迭代法。当方程组规模较大时，高斯消元法耗时较长，因此采用迭代法。迭代法通过有限步迭代逐渐减小误差，得到近似解。对于系数矩阵为严格对角占优矩阵的方程组，迭代法收敛。文章以Jacobi迭代法为例，展示了迭代求解过程，并给出了Fortran源代码。此外，文章还回顾了严格对角占优矩阵、高斯消元法及其算法改进的相关内容。当线性方程组的规模比较大时，采用高斯消元法需要太多时间。这时就要采用迭代法求解方程组了。高斯消元法是一个O(n^3)的浮点运算的有限序列，在经过有限步计算之后理论上得到的是精确解(无舍入误差时)。而迭代法在经过有限步迭代之后一般不产生精确解，迭代法在计算过程中逐渐减小误差，当误差小于容许值时停止迭代计算。方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵时，迭代总是收敛的。●Jacobi迭代法对于方程组3u+v=5，u+2v=5，将其改写为如下的形式由于方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵时，迭代一定收敛。使用初值[u0，v0]=[0，0]开始迭代，以下是迭代过程：继续迭代过程最终会收敛到解[1，2].这个迭代过程就是Jacobi迭代。对于方程组u+2v=5，3u+v=5，由于方程组的系数矩阵不是严格对角占优矩阵时，因此迭代不收敛。来看迭代过程：设D表示系数矩阵A 的主对角部分，L表示A的主对角线下方部分，U表示A的主对角线上方部分。则A=D+L+U，AX=b可改写为对于上面的方程组3u+v=5，u+2v=5，写成矩阵形式迭代格式为这与之前的迭代格式是一致的。Fortran源代码☆☆☆ 往期相关 ☆☆☆严格对角占优矩阵高斯消去法解线性方程组及MATLAB实现高斯消去法的算法改进来源：数值分析与有限元编程