数值积分|自适应梯形积分_python

数值积分|自适应梯形积分

在区间上，采用梯形公式计算的定积分

如果将区间二等分，采用梯形公式计算的定积分

其中

如果将区间三等分，采用梯形公式计算的定积分

其中

由此可以得到递推式

表示两次迭代的相对误差，即

若满足要求，则停止迭代。python代码

import math###自适应梯形公式求积分### y = 1/( 1+x^2 )

def Func(x):    return 1/( 1+pow(x,2) )
def AdaptiveTrapzCtrl(Func, a, b, eps = 1e-6):    kmax = 9000   #最大迭代步数    h = b-a       # 积分区间    n = 1    t0 = 0.5*h*(Func(a) + Func(b))          for k in range(1,kmax+1):        sumf = 0        for i in range(1,n+1):             sumf += Func(a+(i-0.5)*h)                t = 0.5*(t0 + h*sumf)            if (k > 1):            if (math.fabs(t-t0) <= eps*math.fabs(t)): break            if (math.fabs(t) <= eps and math.fabs(t) <=  math.fabs(t-t0)): break                h *= 0.5        n *= 2        t0 = t        if (k >= kmax): print("已经达到最大迭代步数!")        return t        T = AdaptiveTrapzCtrl(Func, 0.6, 1, eps = 1e-6)
print(T)

计算结果是0.24497869339807107，精确值为：

算法基本原理：把原区间分为一系列小区间(n份)，在每个小区间上都用小的梯形面积来近似代替原函数的积分，当小区间足够小时，就可以得到原来积分的近似值，直到求得的积分结果满足要求的精度为止。但是这个过程中有一个问题是步长的取值，步长太大精度难以保证，步长太小会导致计算量的增加。

来源：数值分析与有限元编程

数值积分|牛顿-柯特斯公式

牛顿-柯特斯(Newton-Cotes )公式也叫插值型求积公式。已知的值。以这n+1个点进行拉格朗日插值，得到n次多项式，再对该n次的多项式求积分。将积分区间等分，则n次拉格朗日插值多项式为：其中那么记由可得这就是牛顿-柯特斯公式。其中，称为柯特斯系数。由式可知，柯特斯系数与被积函数以及积分区间都无关，只要给出积分区间的等分数n，就可以算出柯特斯系数。例如，当n=2时对应的牛顿-柯特斯公式为：此即为辛普森(Simpson)公式。为了便于应用，将柯特斯系数列出，可以快速写出牛顿-柯特斯公式。牛顿-柯特斯公式的缺点：对于次数较高的多项式而有很大误差（龙格现象），一般取低阶公式计算。[算例]用牛顿--柯特斯公式计算积分时时时精确值为 ★★★★往期相关★★★★数值积分|二元函数的高斯积分数值积分|高斯积分数值积分|泰勒(Taylor)公式求积分Python实现辛普森公式建模| 利用辛普森公式计算湖泊面积数值积分| 辛普森公式来源：数值分析与有限元编程