牛顿-柯特斯(Newton-Cotes )公式也叫插值型求积公式。已知 的值。以这n+1个点进行拉格朗日插值,得到n次多项式,再对该n次的多项式求积分。
将积分区间 等分,
则n次拉格朗日插值多项式为:
其中
那么
记
由 可得
这就是牛顿-柯特斯公式。其中, 称为柯特斯系数。
由 式可知,柯特斯系数 与被积函数以及积分区间都无关,只要给出积分区间的等分数n,就可以算出柯特斯系数 。例如,当n=2时
对应的牛顿-柯特斯公式为:
此即为辛普森(Simpson)公式。
为了便于应用,将柯特斯系数列出,可以快速写出牛顿-柯特斯公式。
牛顿-柯特斯公式的缺点:对于次数较高的多项式而有很大误差(龙格现象),一般取低阶公式计算。
[算例]用牛顿--柯特斯公式计算积分
时
时
时
精确值为
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