数值积分|龙贝格公式

在数值积分| 辛普森公式提到，辛普森积分最简单的形式是 也就是说至少要三个积分点，两个积分子区间。所以，自适应辛普森积分公式要从S1起步,即 将 式与自适应梯形公式 比较，可得 由此可以得到递推式 若以 表示前后两次计算结果的相对误差，即 若满足要求，则停止计算。python代码import math###自适应辛普森公式求积分### y = 1/( 1+x^2 )def Func(x): return 1/( 1+pow(x,2) ) def AdaptiveSimpsonCtrl(Func, a, b, eps = 1e-6): kmax = 9000 #最大迭代步数 h = b-a # 积分区间 n = 1 t0 = 0.5*h*(Func(a) + Func(b)) for k in range(1,kmax+1): sumf = 0 for i in range(1,n+1): sumf += Func(a+(i-0.5)*h) t = 0.5*(t0 + h*sumf) s = (4*t - t0)/3 if (k > 1): if (math.fabs(s-s0) <= eps * math.fabs(s)): break if (math.fabs(s) <= eps and math.fabs(s) <= math.fabs(s-s0)): break h *= 0.5 n *= 2 s0 = s t0 = t if (k >= kmax): print("已经达到最大迭代步数!") return s S = AdaptiveSimpsonCtrl(Func, 0, 1, eps = 1e-6)print(S) 计算结果是0.7853981628062056，精确值为 算法基本原理：把原区间分为一系列小区间(n份)，在每个小区间上都用小的梯形面积来近似代替原函数的积分，当小区间足够小时，就可以得到原来积分的近似值，直到求得的积分结果满足要求的精度为止。但是这个过程中有一个问题是步长的取值，步长太大精度难以保证，步长太小会导致计算量的增加。★★★★往期相关★★★★数值积分|自适应梯形积分数值积分| 辛普森公式Python实现辛普森公式建模| 利用辛普森公式计算湖泊面积数值积分|牛顿-柯特斯公式数值积分|二元函数的高斯积分数值积分|高斯积分数值积分|泰勒(Taylor)公式求积分来源：数值分析与有限元编程