数值积分|自适应辛普森积分公式_python

数值积分|自适应辛普森积分公式

在

数值积分| 辛普森公式

提到，辛普森积分最简单的形式是

也就是说至少要三个积分点，两个积分子区间。所以，自适应辛普森积分公式要从S1起步,即

将式与自适应梯形公式

比较，可得

由此可以得到递推式

若以表示前后两次计算结果的相对误差，即

若满足要求，则停止计算。python代码


import math###自适应辛普森公式求积分### y = 1/( 1+x^2 )

def Func(x):    return 1/( 1+pow(x,2) )    
def AdaptiveSimpsonCtrl(Func, a, b, eps = 1e-6):    kmax = 9000   #最大迭代步数    h = b-a       # 积分区间    n = 1    t0 = 0.5*h*(Func(a) + Func(b))          for k in range(1,kmax+1):        sumf = 0        for i in range(1,n+1): sumf += Func(a+(i-0.5)*h)                t = 0.5*(t0 + h*sumf)                s = (4*t - t0)/3                if (k > 1):            if (math.fabs(s-s0) <= eps * math.fabs(s)): break            if (math.fabs(s) <= eps and math.fabs(s) <= math.fabs(s-s0)): break                    h *= 0.5        n *= 2        s0 = s        t0 = t            if (k >= kmax): print("已经达到最大迭代步数!")        return s    
S = AdaptiveSimpsonCtrl(Func, 0, 1, eps = 1e-6)print(S)

计算结果是0.7853981628062056，精确值为

算法基本原理：把原区间分为一系列小区间(n份)，在每个小区间上都用小的梯形面积来近似代替原函数的积分，当小区间足够小时，就可以得到原来积分的近似值，直到求得的积分结果满足要求的精度为止。但是这个过程中有一个问题是步长的取值，步长太大精度难以保证，步长太小会导致计算量的增加。

★★★★往期相关★★★★

来源：数值分析与有限元编程

数值积分|自适应梯形积分

在区间上，采用梯形公式计算的定积分如果将区间二等分，采用梯形公式计算的定积分其中如果将区间三等分，采用梯形公式计算的定积分其中由此可以得到递推式表示两次迭代的相对误差，即若满足要求，则停止迭代。python代码import math###自适应梯形公式求积分### y = 1/( 1+x^2 )def Func(x): return 1/( 1+pow(x,2) )def AdaptiveTrapzCtrl(Func, a, b, eps = 1e-6): kmax = 9000 #最大迭代步数 h = b-a # 积分区间 n = 1 t0 = 0.5*h*(Func(a) + Func(b)) for k in range(1,kmax+1): sumf = 0 for i in range(1,n+1): sumf += Func(a+(i-0.5)*h) t = 0.5*(t0 + h*sumf) if (k > 1): if (math.fabs(t-t0) <= eps*math.fabs(t)): break if (math.fabs(t) <= eps and math.fabs(t) <= math.fabs(t-t0)): break h *= 0.5 n *= 2 t0 = t if (k >= kmax): print("已经达到最大迭代步数!") return t T = AdaptiveTrapzCtrl(Func, 0.6, 1, eps = 1e-6)print(T) 计算结果是0.24497869339807107，精确值为：算法基本原理：把原区间分为一系列小区间(n份)，在每个小区间上都用小的梯形面积来近似代替原函数的积分，当小区间足够小时，就可以得到原来积分的近似值，直到求得的积分结果满足要求的精度为止。但是这个过程中有一个问题是步长的取值，步长太大精度难以保证，步长太小会导致计算量的增加。来源：数值分析与有限元编程