振型叠加法解动力学方程

振型叠加法解动力学方程

振型叠加法求解动力学方程由两个步骤组成：一是求解结构的固有频率和振型；二是求解结构的动力响应。本文重点讨论第二步。

对于结构的运动方程

引入坐标变换

式中，

称为广义位移。此变换的意义是将    看成是    的线性组合。从数学上看，是将位移    从有限元系统的节点位移向量为基向量(物理坐标)的    维空间转换到以    为基向量(振型坐标)的    维空间。

将    代入    ，两边同时乘以    ,并考虑到    关于刚度矩阵    和质量矩阵    的正交性，得到结构在以    为基向量的    维空间内的运动方程

其中

称为广义力。在    两端同时左乘    ,并令    ,可将初始条件变换成

由    可知，如果忽略阻尼影响，有限元系统的运动方程可以用相应的振型矩阵    解耦成    个互不耦合的单自由度系统运动方程。由于阻尼矩阵无法得到显式的表达式，只能近似的考虑阻尼的影响。考虑求解的方便，假设阻尼矩阵与振型矩阵正交，即

其中    是第    振型的模态阻尼比。此时    变为    个互不耦合的二阶常微分方程。

   中每个方程都相当于一个单自由度系统的运动方程，可以用直接积分法求解，或者用杜哈梅积分求解。

• 算例

用振型叠加法解运动方程

其中

初始条件

(1)、由    解得广义特征对

(2)、写出互不耦合的运动方程记

由坐标变换

可得到坐标变换后的运动方程

广义坐标初始值为    ,    

   的精确解为

进一步