常见固体材料本构关系

1. 线弹性各向同性材料

对于各向同性线性弹性材料，应力张量表达式为：

 

其中λ和μ是Lamé常数。应力张量也经常用流体静力学和偏量部分来表示

 

体积模量 K 和剪切模量 G 表达式为：

 

通过下列方程与杨氏模量 E 和泊松比 ν 有关

 

压力更新的编写方式如下

 

Neo-Hookean模型是一种各向同性超弹性材料模型，其特征可以用线弹性分析中常见的材料参数来识别

对于该材料模型，第一Piola Kirchhoff应力张量P表示为变形矩阵F和Lamé常数μ和λ的函数，如下所示

 

 

这样的公式便于与总拉格朗日格式一起使用，但J=det F。对于更新的拉格朗日格式，使用柯西应力张量σ更合适。

 

 

3. 弹塑性材料

材料建模可分为三个领域：体积响应，或压缩阻力（状态方程），变形阻力（本构）；以及随着损伤的累积（失效）而承载应力的能力的降低。本节介绍了一个温度相关的次弹性损伤塑性材料模型。该模型适用于大应变和大旋转问题，适用于弹性变形与塑性变形相比可以忽略不计的问题。

处理刚体转动时应力速率的非不变性，刚体运动从应变率中消除，从而从应力率中消除，这是通过首先在旋转R和拉伸U部分中执行F的极性分解来实现的

F = RU 用奇异值分解。

然后从应变速率张量 D 中减去刚体转动，得到非转动应变速率张量

 

一旦未旋转的应力率被整合到未旋转应力中

，后者被旋转回当前配置，即：

 

柯西应力张量 σ 表示为各向同性部分，即静水压力之和，和无迹对称偏应力，使用状态方程（EOS）来确定静水压力。

偏差响应是使用塑性流动规则结合屈服条件确定的。这里采用冯-米塞斯屈服条件。此外，当考虑断裂时，使用经典的连续介质损伤力学方法对其进行建模。也就是说，应力张量与损伤变量成线性关系。

总之，模型方程为

1. 应力分解

 

2. 状态方程

 

3. 应变速率分解

 

4. 各向同性亚弹性

 

5. von Mises屈服条件

 

6. 相关塑性流动相关塑性流动

 

7. Karush-Kuhn-Tucker条件

 

其中G是剪切模量；λ是塑性乘数，dd是未旋转偏应变速率，其中dd，e和dd，p分别是弹性部分和塑性部分；σf为流动应力，

静水压力是使用Mie-Grüneisen EOS确定的，该EOS经过修改以考虑损坏

 

其中c0是声速，0是参考状态下的Grüneisen Gamma。Sα是线性Hugoniot斜率系数。请注意，正压是压缩。

内能 e 写成

 

其中Cv表示恒定体积下的比热。

对线性状态方程进行了修改，以说明损坏情况，用D表示

 

其中 K 是体积模量。

根据Johnson-Cook的流动应力模型，按损伤比例缩放，等效的冯-米塞斯流动应力写为

 

当 εp 为等效塑性应变时 ε * p 为归一化塑性应变率 a 为屈服应力 b 和 n 为应变硬化参数 c 为应变率参数 m a 为温度系数。这个模型有五个实验确定的参数，可以很好地描述许多金属的响应。

归一化塑性应变率和相应温度 T * 由以下公式给出:

 

其中，*εp和*ε0分别为塑性应变速率和用户定义的参考塑性应变率；Tr表示基准温度，Tm是基准熔融温度。除非另有说明，*ε0=1.0 s−1。

塑性应变、其速率、温度和损伤的影响是通过相互相乘而耦合的。如果对损坏不感兴趣，只需省略其支架即可。同样，如果不需要热软化，则应跳过相应的括号。温度T可以通过求解热扩散方程来计算，或者它可以简单地从塑性加工中获得。对于高应变速率变形，没有足够的时间进行热传导，因此绝热条件占主导地位，温度升高可计算如下

 

其中0 < χ ≤1是 Taylor-Quinney 系数，它决定了塑料制品转化为热量的程度。金属常用 χ = 0.9。

3.3 损伤

每个颗粒中的损伤量（D）是使用Johnson Cook损伤模型确定的，该模型广泛用于工程应用

这是一个基于塑性应变局部积累的应变率相关的唯象模型。根据该模型，当累积等效塑性应变达到破坏时的等效应变 εf 时，损伤发生

 

其中Δεp是等效塑性应变增量。失效时的等效应变εf由Johnson Cook的经验方程给出：

 

其中 D1，... ，D5是五个材料常数 σ =-p/σeq 是应力三轴性。

由于该模型仅描述损伤萌生，因此为了建立完整的断裂现象模型，需要建立损伤演化模型。这里，假设损伤变量由