结构函数的数学原理（四）
结构函数的数学原理（四）
三、 FOSTER与CAUER RC网络模型之间的转换
接下来要讨论的网络类型是线性无源的RC单端口网络，设置以下限制条件： Zth(ω=0)=Rth，而Zth(ω→∞)=0
FOSTER—CAUER模型转换：假设FOSTER模型（见图C-1a）中的Ri、Ci值已知。根据方程A7，网络的复阻抗为： 
首先，从Z(s)中提取一个并行热容，假设s→∞，则热容的导纳可以近似为： 
因此，提取的热容C1=dN/nN-1。从Y(s)中减去热容的导纳，可以消除sN项：
（C4)
其次，从Z*(s)中提取串行热阻，假如s→∞，热阻抗可以近似写为： 
(C6)
现在，我们再次得到一个类似于方程B2的热阻抗公式，但是分子和分母都少了一项。以此类推可以求出C2、R2等因子，按照以上步骤可以计算出梯形网络的每个因子（如图B-1b）。按照这种方法一直计算下去，直到达到Z=0。 CAUER—FOSTER模型转换：假设CAUER模型中Ci、Ri的值已知，则网络的复阻抗为: 
上式可由方程C2通过基本转变得到。然后需要计算分母的N个根。si个根是负实数，可求得系统的时间常数RiCi，RiCi=1/│si│.
还要考虑一个实际问题。为了得到良好的结构函数分辨率，应在R(z)函数离散化中分割更多的△z片段。图A-9所示的RC阶数可能达到100甚至200个。像这样的FOSTER—CAUER模型转换存在数值效应问题。如果△z片段数增加，而对结构函数的分辨率不会产生太大的影响，我们认为这样的片段数是合适的，关于这方面的研究尚未得到行业内太多的关注。
四、仿真的结构函数与模型校准
以上数学公式和数学推导，都来自JEDEC 51-14标准。JESD 51-14在标准中指出，结构函数是一维散热路径的数学模型，2012年罗亚非博士全球首创《三维热阻理论》，获得 IEEE(国际)最佳青年创新奖。从一维到三维，其模型更接近于实际工程应用，《三维热阻理论》是电子热管理领域的理论又一个里程碑。 为了从三维模型去认知温度场，罗亚非博士提出了用热模型校准来提升仿真精度，首先导入仿真的结构函数，对热测试实验做瞬态仿真，在仿真环节中，也能得到时间和结温的响应曲线，用该响应曲线也能生成结构函数，再去调整仿真的边界条件去拟合仿真的结构函数和测试的结构函数，从而得到一组等效的边界条件，仿真精度得到了有效提升。 
为了提高拟合的效率，当时的Mentor基于仿真软件，开发了自动校准的功能，实际应用效果并不理想。主要是自动校准的模型可信度有待提升，深层次去分析原因，要从如何得到仿真的结构函数说起。仿真的时候，时间步长是每个时间数量级内10个点，这个是罗亚非博士最开始时候人为的设定（当时罗亚非博士是Mentor亚太区技术总监，实际上是负责MicRED全球应用技术的开发），之后没人去变过。但仿真的时间步长及踩点密度变化，会对结构函数造成影响。主要原因是结构函数计算时的内插问题，仿真的时间分辨率比测试的低太多了，只能简单粗暴的内插增加点数，内插的点和实际点肯定是有一定偏差的，而结构函数的计算对偏差很敏感。 我个人的观点，自动校准的思路一定是大方向，只是目前的自动校准技术尚处于萌芽阶段，在当下的技术积累下，需要结合其他的手段，比如监测点的瞬态温度响应（这需要在采集结温的同时，同频同步采集某一个监测点的温度瞬态响应，也可以转换成结构函数，而这个点的温度的瞬态响应和仿真也能对得上，那么，可以认为，该仿真模型的精度是可以信赖的），或者人工校准的结果等等去使用。 校准技术是热数字孪生技术的基础，行业并没有相应的标准。而行业应用需求的迫切度很高，校准和自动校准的大面积的应用，从根本上来说，还是需要建立这方面技术的数学模型。而由于三维温度场的复杂性，数学模型的建立，绝非易事。首先需要大量精确的数据，揭示客观世界的真相；其次需要建立标准，让数据之间建立一定的逻辑和联系；第三需要数学家们的努力，从数据到模型，可能有很多难题等待着我们去攻克；最后还得行业的应用验证，通过实践去检验，去迭代，毕竟实践才是检验真理的为唯一标准。 写到这里，关于结构函数的数学原理的介绍算是结束了。可以预见，应用需求推动技术发展，将来在三维温度场领域，也一定会产生很多新的数学公式和数学推导，逐步形成更先进的行业标准，从而提高整个行业的技术水平，提高资源的利用率，降低技术应用的难度。而这个标准，大概率会在中国产生。（完）
参考标准：JESD 51-14
