结构函数的数学原理（三）
结构函数的数学原理（三）
二、从Zth函数获得时间常数谱
时间常数谱与热系统的时间响应有着密切的联系，这种联系就是Zth曲线。Zth的定义是结温在特定功率条件下结温的时间响应曲线，在实际的工程环境中是很难直接测到，主要原因是我们实验系统通常控制的是电流，当芯片结温上升时，功率会发送变化。Zth曲线等价于方程A5中介绍的单位阶跃响应函数，只是要将方程A5中的线性时间坐标换成对数时间坐标。假如用对数时间坐标下的a(z)表示Zth值，则有 
这个公式可以证明【见参考文献（1）和（2）】单位阶跃热响应函数a(z)与时间常数谱之间的关系。
式B4右边可用卷积积分实现，用符号⊗表示卷积运算，单位阶跃热响应与热时间常数谱的关系可用下式表示：
固定wz(z)函数（见公式B3），a(z)函数(Zth曲线)能够通过测量得到，因此热时间常数谱R(z)可以利用反卷积运算求得。计算公式如下：
各种反卷积算法已成功应用于这一运算中，其中有贝氏反卷积和傅里叶反卷积，傅里叶反卷积也称为频域反卷积，在此将详细介绍这种算法。 对方程B5两边进行傅里叶变换可得：
Φ为广义频率，da/dz,R(z)和w(z)的傅里叶转换分别为M(Φ)，V(Φ)和W(Φ)。值得注意的是Φ不是通常意义上的频率，因为A10方程中的变量z所对应的时间是对数时间。应用傅里叶卷积方程B5变成一个简单的乘法。通过以上变换，时间常数谱R(z)的计算就相当简单：首先计算，然后转换V(Φ)至z域：R(z)=F-1(V(Φ))。实际上并不是那么简单。 因为总有噪声n(z)叠加在信号da/dz上， “测量”的信号m*(z)如下： 
即使Zth曲线是通过仿真得到，由于数字的有限长数值表示引起的量化误差，使得系统中存在不可忽略的噪声成分。因此，含噪声的信号m*(z)的傅里叶转换为 
N(Φ)是n(z)的傅里叶转换，则有
W(Φ)的高频成分非常少，而噪声谱中主要是高频成分。因此，方程B10中分式N(Φ)/W(Φ)越大，V*(Φ)中的噪声越大。图B-1中给出了从测量功率谱∣M*(Φ)∣2获得功率谱∣W(Φ)∣2的一个例子。∣W(Φ)∣2在高频Φ以后将会迅速消失，而∣M*(Φ)∣2的噪声成分在高频后依然保持在一个常值附近波动。假如不减小V*(Φ)中的噪声，反变换R(z)=F-1(V(Φ))将得不到理想的时间常数谱。因此，进行反变换前有必要在方程V*(Φ)=M*(Φ)/W(Φ)中引入一个滤波函数F(Φ)： 
这个滤波器不会改变M*(Φ)中的低频成分，而且可以极大地减少高频中的噪声成分，也就是当|Φ|<Φ0时，F(Φ)≈1，而|Φ|>Φ0时，F(Φ)≈0。参数Φ0称为滤波带宽。
函数的形状由两个参数决定：滤波带宽Φ0和波前陡度σ（如图B-2）。滤波带宽Φ0越大，得到的结构函数分辨率越好，但同时也会增加信号中的高频噪声，可能产生对结构函数人为的影响。波前陡度σ的影响更为复杂：如果σ减小，则F(Φ)图形变得更陡峭，增加了信号在频率Φ<Φ0范围内的权重，但是减小了信号在频率Φ>Φ0范围内的权重。应该避免过小的σ值，因为过小的σ同样有可能为结构函数带来人为的影响。因此，这两个参数应该在分辨率和噪声之间折衷选取。最优值根据测量数据的信噪比而定。Φ0=0.45和σ=0.05是值得考虑的初始值。1. 对时间取对数z=ln(t),并计算Zth曲线的微分da/dz；
2. 根据方程B3计算w(z)；
3. 分别计算da/dz和w(z)的傅里叶变换：M*(Φ)和W(Φ)；应使用快速傅里叶算法快速计算这些变换。
4. 根据方程B12计算滤波函数F(Φ)；
5. 通过计算V*(Φ)的傅里叶逆变换得到时间常数谱R(z)。
实际过程中，时间常数谱的计算是一个难点，因为不仅要有深厚的数学功底，还需要对热传导热扩散这个物理现象有深刻的理解。或者说，不同的理解，将会离散成不同的时间常数谱，因而结构函数也会有不同，其应用的可行性和重复性都会有所差异。
参考标准：JEDEC Standard No. 51-14
参考文献：
1，V. Székely,Tran van Bien: "Fine structure of heat flow path in semiconductor devices:a measurement and identification method", Solid-State Electronics 31(9):1363-1368 (1988)
2，V. Székely:"Distributed RC networks" In: Wai-Kai Chen (ed.): The Circuits andFilters Handbook, Boca Raton: CRC Press Inc., 2003. pp. 1201-1222. (Theelectrical engineering handbook series) ISBN:0-8493-0912-3
（未完待续）
