云境课堂 | 模态分析
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生活中的共振现象
在生活中，当我们走在过街天桥上时可能会感到桥身有轻微的摇晃和振动。类似的，我们还可能听说过无人通过的大桥在风吹作用下也会摇动，而且程度甚至要更加剧烈，如图1所示。当我们前往音乐会，现场的精彩演出不仅会震撼我们的心灵，更会让我们的内心为之鼓动。当场景来到机械生产制造过程中，长久运行机器的螺丝会有时飞离机身，造成松动进而产生危险。这些现象的背后有着共同原因——共振。当外部施加激励的对应频率和关注对象的固有频率相等时，就会产生共振现象，并产生更强烈的位移响应。为了更好的掌握和利用共振时所产生的特性，合理避免其所带来的危害，我们就需要用到模态分析。
图1：大桥共振下所带来的巨大变形
什么是模态分析？
模态分析是一种用于研究结构振动情况的分析类型。它通过确定结构的固有频率(natural frequency)、模态振型(mode shape)和阻尼（damping）等参数来分析结构的动力属性。模态分析有助于了解对象在不同环境下的振动行为，并预测潜在的共振现象。其中涉及三个专业名词，分别是模态振型，固有频率和阻尼。解释如下：
模态振型：系统固有属性。当外部激励频率和系统固有频率相同时，结构体的变形方式[1]。但是请注意，模态振型的变形情况不等于真实变形情况，仅表示共振时候的变形样貌。
固有频率：系统固有属性，系统在不受外部激励情况下的自身频率，大小不受外部作用影响[2,3]。
阻尼：消耗系统运动能量，使得系统振动幅度逐步降低直至稳态的外部作用，例如摩擦力。
结合本文开头提到的例子，在生产设计制造过程中使用模态分析得到固有频率之后，我们应尽可能避免使外部激励的频率接近关注系统的固有频率。
如何进行模态分析？
上面的流程图反映了在进行模态分析时的一般步骤。我们首先从运动方程的一般形式开始，如下式所示：
其中的 [M] 表示质量矩阵，[C] 表示阻尼矩阵，[K] 表示刚度矩阵，{F} 表示所受外部载荷，{d}表示位移，剩余两个则为位移的一阶导数：速度，和位移的二阶导数：加速度。式中已知项为质量矩阵，刚度矩阵和阻尼矩阵。固有频率是结构在不受外力情况下的频率，模态振型是结构固有属性。故在求解固有频率时可以忽略外部载荷项{F}。由于这里我们的关注点主要在于求解固有频率和模态振型，并且考虑的是不含阻尼项的自由振动系统，因此阻尼项可以不进行考虑。运动方程可简化为：
为了进行模态分析，我们还需要选择恰当的振动描述形式来对运动过程进行表述。一般情况下，我们会用 ”时间“ 来表达位移的变化情况。但由于我们此时关注结构的振动情况，需要引入 ”频率“ 来表征位移，因此在这里选用比较简单的”简谐运动“作为振动描述形式，其中位移可表示为下式：
将上式代入简化后的运动方程中，可得：
将上式中的“ωi2”替换为“λi”，可得：
可求出特征值λi和特征向量{d}。由特征值可求出系统的“固有频率f”。若该方程有两个特征值λ1和λ2，且λ1<λ2，那么特征值λ1对应一阶频率、λ2对应二阶频率。而特征向量即对应每一个“固有频率”的“模态振型”。”模态振型“的个数等同于系统”自由度“个数。对于三维刚体，则有6个自由度，分别是X，Y，Z方向平移和XOY，YOZ，XOZ方向转动，因而也就有6个模态振型。但对于变形体，则具有更多的自由度，更多的振型。
为了展现上述模态分析的计算过程，对材料为结构钢，横截面为100mm*100mm，长1200mm的悬臂梁进行有限元模态分析。边界条件是对梁的一端施加固定约束，另外一端为自由运动状态。经计算，该悬臂梁1阶模态固有频率为56Hz，2阶模态为56Hz，3阶模态为343Hz，4阶模态为343Hz，5阶模态为600Hz，6阶模态为919Hz；可在simversus的后处理可视化模块中查看各阶模态振型及其对应的位移分布情况，如图2所示。在图2中，颜色越趋近于蓝色，表示位移程度越小。反之当颜色越趋近于红色，表示位移程度越大。为了更好的表示出位移程度，采用“矢量”功能，绘制尺寸采用“均匀”，标识出位移矢量的方向箭头，这里以2阶模态振型为例，如图3所示。这样就可以清晰展现出位移趋势情况。
图2：宽100mm，高100mm，长1200mm的结构钢悬臂梁不同视角下前6阶模态振型情况
图3：2阶模态下悬臂梁位移矢量方向分布情况
模态分析通常可用于结构设计优化，振动噪声控制，振动响应预测以及故障诊断和健康检测这四个主要领域。而在实际应用时候，这四个领域往往又不会单独进行。例如在搭建桥梁结构的过程中，我们需要对设计好的建筑结构进行分析，求得方案下桥梁的固有频率和模态振形。通过不断修改空间结构，固定方式等来改善振动状态。在确定好方案后，就可以通过仿真预测该桥梁结构上遭遇自然环境下强风时的表现状况。
图4：湖南矮寨悬索大桥
类似的分析流程也见于汽车的设计过程中。在汽车的设计过程中需要进行NVH测试，NVH为噪声(Noise)，振动 (Vibration), 粗糙度 (Harshness) 的缩写，专注于解决车辆设备运行过程中所产生出来的噪声和振动对乘客会造成不舒适感的问题。在进行NVH的分析过程中，车体振动情况和车厢内部噪音是衡量NVH测试表现的两大重要指标[4]。此时我们可以通过采用模态分析的方法来计算出车辆的固有频率，从而对设计出来的车辆结构的振动情况做出预测。
图5：车辆噪声振动测试
参考文献
[1] Experimental modal analysis
