CFD理论|Boussinesq近似
导读：介绍浮力驱动流（自然对流）中的Boussinesq近似。
首先看一下可压缩的Navier-Stokes方程（纳维尔-斯托克斯方程）
在连续性方程中，密度出现在时间导数项以及对流项中；在动量方程中，密度也会出现在方程右侧的浮力项中，这是本文的讲解重点。
可压的N-S方程是高度非线性，通过数值方法求解，就会变得不稳定；并且因为要求解很多方程，包括三个动量方程，求解出密度、温度、压力、湍动量等，因此对计算机内存也有一定的要求。
对于浮力驱动流的情况，密度变化小，能否对方程进行简化？
对于N-S方程中的密度项，可以考虑采用参考密度及密度波动项来替代：
一般情况 比参考密度 小得多。恒压下，随着温度升高，密度是降低，因此 为负数。
把这个简化代入可压缩的N-S方程
受到影响的项包括时间导数项、对流项及右边的浮力。
在Boussinesq近似中,假设密度在时间导数项和对流项项中是恒定，密度波动只影响浮力项，这是因为浮力项相比时间导数项及对流项大得多，流动是由浮力驱动。
当然对于高马赫数的流动是不能够假设密度变化在时间和对流项很小，这里考虑的是低马赫数流动，浮力项占主导地位，因此方程可以改写为：
没有改变浮力强迫项 因为浮力项占主导地位，左边的时间导数项和对流项目都被简化了。进一步简化可得：
接下来的几个阶段化简会改变这些方程，得到最终想要的方程。
在CFD求解过程中，通过采用动压表示，因此：
代入N-S方程后:
其中浮力项就是：
但是现在浮力项还是包含密度，下一步就是考虑如何代替浮力项中的密度项。
可以用某种形式的温度来代替浮力项吗？首先需要先定义热膨胀系数：
热膨胀系数被定义为恒定压强下密度相对于温度的变化率，将其用它除以参考密度。
热膨胀系数如何测量呢？有一个盒子，里面装着某种物质，上面有一个盖子，假设这个盖子没有重量，所以盒子的盖子上有一个力等于大气压
加热盒子的底部，盒子里的分子会运动得更强烈，它们的温度会升高，物质会膨胀，体积会增加，密度会降低。
通过测量密度的变化和温度的变化，就可以计算物质的热膨胀系数（恒压下密度对温度的变化率）。
对上面方程进行变形，做一个线性近似：
因此浮力项可以改写为：
可以看到 这里不再有密度。
将浮力项带入N-S方程中：
因此不再需要在计算网格中记录和存储密度度，大大减少了内存的获取，同时也减少了方程组的非线性程度。所以解这种形式的N-S方程要比解全套的可压缩流方程稳定得多。
需要通过求解能量方程来获取温度变量; 其他材料的性质,比如导热系数、比热容、粘度等如果都是随着温度变化，必须在每次迭代中计算这些变量； 当前所做的就是把密度从方程中去掉 所以我们不再需要把密度作为温度的函数来计算。
总的来说, 当密度波动远小于参考密度时，近似是有效的：
可以将方程改写为更直观的形式：
引入热膨胀系数：
这意味着当室温在下述范围时，通过Boussinesq近似计算的流场误差小于1%：
总的来说：
，Boussinesq近似是有效的； ，完全可压缩方程来考虑密度的影响。
