Abaqus-之线性粘弹模型-1

      这将是关于线性粘弹性系列的第 1 篇~！。事实证明，线性粘弹性（LVE）理论非常简单，很容易从第一原理推导出来。通过提出理论背后的思想，将更容易理解线性粘弹性何时起作用，何时不应该使用。在第一部分中，我将重点介绍小应变单轴载荷。在后面的部分中，我将把这个理论扩展到其他更一般的情况。

推导 - 一维加载

线性粘弹性是将线性弹性与粘弹性相结合的一种模型。它基于图 1 中所示的假设。

图1.路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann，1844-1906）假设每个加载步骤都独立地对最终状态做出贡献。

        让我们从考虑以下思想实验开始。让我们应用阶跃应变（在 time=0），然后保持该应变恒定。同时测量应力随时间的变化。对于大多数高分子聚合物，响应类似于图2所示。然后，我们可以从以下公式定义应力松弛模量：Er（t）=σ（t）/ε0。正如我将在下面展示的，应力松弛模量是完全确定任何应变历史的应力所需的全部。

                                       图2.应力在阶 跃应变下逐渐松弛

为了使它更有用，我们需要能够分析一般的应变历史，执行此操作的第一步是将施加的应变写为应变跳跃的总和：

图3.施加的应变历史可以通过多次应变跳跃来近似

通过使用玻尔兹曼的叠加思想，总应力只是每个应变跳跃的应力之和：

这个方程可以转换为积分，因为我们对无限个小应变跳跃求和：

该方程可以通过除以并乘以 dτ 转换为时间积分：

这个主方程向我们展示了如何根据任何单轴应变历史计算应力。很酷！

示例 1：应力松弛

让我们测试主线性粘弹性方程（1），以测试在时间为0时应变跳跃的情况（如图2左侧所示）。为了计算应力响应，我们还需要有一个应力松弛模量随时间变化的方程。假设以下形式：

这个方程特别方便，因为指数函数的积分也是一个指数函数。如果执行计算，将得到以下应力方程：

结果如图4所示。

图4.预测不同τ0的应力松弛响应

示例 2：单调张力

作为第二个示例，考虑一种线性粘弹性材料，该材料在拉伸中加载了恒定的应变速率：

如果我将其代入主线性粘弹性方程 （1），我会得到以下应力表达式：

在非常大的应变下，应力达到的稳态值，初始杨氏模量为 E0。

图5.单调张力下的预测应力

示例 3：任意应变历史

任意应变历史引起的应力响应可以使用公式（1）计算。在一般情况下，应力不能以封闭形式表示，而必须用数值计算。一种方法是使用如下所示的代码。在这种情况下，我使用了与示例 1 和 2 中相同的应力松弛方程，但我应用了加载-卸载循环。应变速率为0.01/s，最大应变为0.1。请注意，此处提供的代码可能是计算应力的最低效方法。

using QuadGKusing Plotsfunction strain(t)    maxStrain = 0.1    strainRate = 0.01    t1 = maxStrain / strainRate    if t <= t1        return strainRate * t    else        return maxStrain - (t - t1) * strainRate    endendfunction strainRate(t1)    dt = 1.0e-4    return (strain(t1+dt) - strain(t1)) / dtendfunction integrand(tau)    global t    E0 = 10    tau0 = 4.0    ER = E0 * exp(-(t-tau)/tau0)    return ER * strainRate(tau)endN = 100time = range(0, 20, length=N)ee = zeros(N)ss = zeros(N)for (i,tt) in enumerate(time)    global t    t = tt    ee[i] = strain(t)    val, err = quadgk(integrand, 0, t, rtol=1.0e-3)    ss[i] = valendplot(ee, ss, label="LVE Prediction", linewidth=2)plot!(size=(1000,800), framestyle=:box)plot!(tickfontsize=14, guidefontsize=16, xlabel="Strain", ylabel="Stress")savefig("LVE1.png")

总结

很容易从第一原理推导出线性粘弹性的一维公式：