四轮转向的线性二自由度汽车模型
在我们进行车辆的车道偏离辅助系统开发时,更多的是关注汽车沿Y向(横向)的运动,包含两个自由度,一个是Y向平移,一个绕着Z轴的转动。
为了能更简单地表达这两个自由度和汽车其它参数的关系,我们先要进行一些假设。
假设1、忽略汽车方向盘到车轮转角之间的关系。直接以车轮转角作为输入(在本例中,由于是四轮转向,所有输入为前轮转角和后轮转角);
假设2、忽略悬架的作用。即认为汽车只作平行于底面的运动,这样,汽车的侧倾运动、前后俯仰运动、Z向的位移都为0;
假设3、假设汽车沿纵向(X方向)匀速运动。这样X方向的加速度为0;
假设4、假设左右车轴左右轮的侧偏刚度相同,不计底面切向力、外倾侧向力、回正力矩、垂直载荷变化对车轮侧偏刚度的影响。
经过这些假设,四轮转向的汽车就被简化为以下示例的二轮二自由度模型。
好了,基本假设和参数设定好以后,我们来开始搭建动力学模型(主要思想是利用牛顿定律:F=ma,建立Y向运动的平衡方程),首先我们必须明确模型的搭建步骤。
步骤1:确定汽车质心绝对加速度在车辆坐标系上的分量(ay);步骤2:确定二自由度汽车受到的外力(ƩFy、ƩMz);
要建立汽车运动学方程,那么就要分析其运动状态,建立平衡方程。假设汽车经过∆t的时间运动到一个新的位置,也有了新的速度和方向,我们将新的状态叠加到原始状态的坐标系上,来分析这个变化,就能搭建平衡方程了。如下所示:
步骤1:确定汽车质心绝对加速度在车辆坐标系上的分量(ay);
这里需要有一些假设,经过∆t的时间(无穷小的时间),那么∆Ɵ也无穷小,这个时候,cos∆Ɵ近似为1,sin∆Ɵ近似为∆Ɵ,(求极限的基本知识),这样,就可以求出在原始坐标系下的y向速度,如下所示,再对这个速度求导,就可以得出y向加速度了。加速度求出来了,对于F=ma这个等式,我们还需要知道力的大小,那么我们还需要对于汽车的Y向受力进行分析。这个包括Y向的合力ƩFy和绕Z轴的转矩ƩMz,如下所示(由于角度很小,几个余弦函数按照极限定义,都可以近似等于1)。
再来进行一个分析,即侧向力。侧向力是由于轮胎的侧向变形产生,所以这个力应该等于轮胎的侧偏刚度和侧偏角的乘积,如下所示。
上式中,两个侧偏的角度还是未知量,需要进一步用其它的变量来导出。如下所示。(依然要用到极限的概念,当角度小的时候,可以用a=tan(a))。再根据牛顿定律,可以得出力和加速的关系,力矩和转动惯量的关系,如下:
再稍微调整下,就得出了四轮转向的二自由度汽车模型:两个自由度,也即两个未知参数,他们是Y速度v和绕Z轴的转动角速度r,其它的参数都是常数(由汽车本身状态确定),两个方程,解两个未知变量,是可求解的。
整个推导过程其实涉及到的原理不多,一个是牛顿定律,另一个是极限值简化,但因为参数较多,容易迷路,搞不清谁是变量,谁是已知量。不过,只要静下心来,就能慢慢推导出来的。本文内容源自网络培训课程截图,仅作自我学习的笔记用,若有不适,请联系处理。