流体力学|09流体中的能量守恒

通过测量重物下落距离和水升温程度，焦耳得出了能量守恒的结论。经过很多人在理论和实验方面的工作，最终确定了热力学第一定律的公式：   其中    表示工质内能的增加，它只能有两种原因造成：一个是从外界吸收的热量Q；一个是接受外界做的功W。热力学第一定律是对一个封闭系统而言的，比如这个容器当活塞向内运动时，对内部的气体做压缩功，气体的内能增加。

如果压缩的同时气体向外散失一部分热量，内能的增量就会少一点。也就是说，这时气体的内能与做工和传热两项都有关。

工程中经常遇到一些可以简化的情况，比如绝热压缩，内能则只取决于做工量：   而对于等容加热，内能则只取决于加热量：   还有一种不太常见的情况，等温压缩，压缩功所加的能量正好通过散热减掉了：    在工程热力学中常用p-V图来分析体积功，这三种情况p-V图上分别是这样的：

对于开放的系统，热力学第一定律的体现形式有所不同，一般约定系统从外界吸热为正，对外做功为正，则能量方程写成这样：    这里E来表示总能量，这时它不但包含流体的内能，还包含了宏观动能：    功可以分为这样几种，压力做功，粘性力做功，重力做工以及轴功：    我们将对这几种功分别进行分析，并给出关系式。

去虚线所示的空间为控制体，进出口分别用下标1和2表示。

先考察压力做功，单位时间内流体对外做的功是力乘以速度。在出口处，力是压力乘以横截面积，于是压力做功为：    在进口也是一样，只不过在这里控制体内的流体对外做负功：    在壁面构成的控制面上，压力与流动方向垂直不做功，所以总的压力功就是进出口的压力功之和。注意到流量    等于    ，可以把流量提出来，压力功就可以写成这样的形式：    很显然，这里的    单位流量的压力做功。实际上，在热力学里它经常写成    ，其中    是密度的倒数，这就是常说的流动功。现在来看，粘性力做功，壁面对流体有剪切力作用，但壁面是静止的，紧挨壁面的流体也是静止的，所以壁面并没有对这部分流体做功。流体各层有速度差和剪切力，但那是流体内部的功。总体来说，静止的壁面并不通过粘性力对流体做功。

重力做功比较简单，只取决于进出口的高度差：    这个表达式是单位时间内控制体内的流体对外界所作的重力功。

轴功比较复杂，我们这里先不仔细研究他只给出他的表示方法：    有些书上说，轴功是通过旋转轴输入和输出的，这并不太确切，轴功也可以通过往复运动或摆动等来讲。总之，宏观上说，轴功是和非定常流动有关的功。

现在把这几种功加起来，单位时间控制体内流体对外做的功：    还可以写出吸收的热量的表达式    和能量变化的表达式： 
  这三个表达式带入到能量方程中，就得到了一维积分形式的能量方程：    对于开式系统经常不用内能，而用焓来表示总能量。焓和内能的关系是这样的：    可以看出，其实焓就是内能加上流动功。用焓来表示的能量方程表达式：    流动功可以理解为压力势能，重力做功也可以理解为重力势能，所以这个能量方程的左边是内能，压力势能，动能和重力势能。右边是流体外界的换热和轴功交换。

如何理解这个能量方程呢？我们举这样一个例子。如果有一个密闭的刚性容器，内部充满气体对容器进行加热，这属于等容加热内部的流体内能增加，动能仍为零，重力势能也保持不变。现在改变一下容器不是封闭的，有一个活塞压在上面，加热时，气体对活塞做膨胀功，同时自身也具有了整体向上的速度，并且气体重心提高，重力势能也有所增加。

所以对这个例子应用上面的能量方程的话，只有轴功还是零。不过，这种情况气体的动能和重力势能改变量很小，经常是忽略的。如果容器有一个小孔向外排气，则一般动能就不能忽略了。

在这个系统中，除了加热，还有一个叶轮通过搅拌对气体做轴功，这时上面能量方程中的各项就都不为零了。

工程上常见的一种情况是系统与外界绝热，没有轴功且忽略重力的。比如气体沿管道的流动就差不多是这样。这时气体本身的能量守恒，即焓与动能之和为常数：    还可以把焓写成内能与压力势能之和的形式，关系式变成三项之和为常数：    当气体沿着绝热管道减速流动时，如果流体为不可压且没有粘性，则速度的减小只引起压力上升内能保持不变。如果流动是可压缩的，则内能会有一定的增大。如果还是有粘的，内能还有一些额外的增加。这里，粘性是如何引起内能增加的？需要通过微分形式的能量方程才能解决。

下面就对这种传热和做工项分别进行分析。对于一个正六面体流体微团来说，六个面上分别有热量流入和流出。用    表示单位面积的热流量：则从左侧面进入的热流量为    ，则右侧流出的热量则可以用一阶泰勒展开来表示：    于是左右两侧面净流入的热量就已知    。同理也可以得出其他两面进出的热流量，从而得出总的热传导换热量（单位时间通过热传导的吸热量）：    热流量可以用傅立叶定律描述，这样就把传热量用流场温度分布的表示（单位面积的热流量）：   

 辐射换热。只与微团和环境的温度相关，假设单位时间单位质量的辐射换热量是    ,则总的辐射换热量：    流体微团在外表面上推动邻近的流体对外做功，这就是表面力做功。

因为牵引力的存在，表面上的力并不是垂直于表面的。用    表示作用在左侧面上的表面里，它代表正应力和两个切应力的合力：   左侧面在此作用力下的移动也不一定是沿X方向的，而是有三个分量：    单位时间在左侧面上表面力做的功为力与速度的乘积：    这里要注意正负号的表达方式。按照约定取拉力为正，便取流体微团对外做功为正。    是微团对外部流体的拉力，而功的表达式也是指流体微团对外部流体所做的功。

右侧面的表面力做功可以用左侧功的泰勒展开表示，但要加一个负号，因为右侧的力与速度方向相反：   于是我们就得到了左右两侧面上流体微团对外做的总功：   另外两侧面上也是一样，所以就得到了总的表面力功的表达式：    体积力做功比较简单。就是重力与微团整体速度的乘积：    不过这个公式是外部对微团的做功，对外做功为正的话，这里要加一个负号。

现在我们已经把换热量和做功的表达式都分析过了：

把它们都带入到能量方程中，就可以得到最终的能量方程表达式了：

这里给出了矢量形式表示的能量方程，其中各项的含义是很清楚的。能量由内能和动能构成，功分为体积力功和表面力功；换热分为导热和辐射。具体计算时可以把能量方程写成分量形式：

这个分量形式的方程看起来很复杂，但还不是最终形式，还需要把本构方程带入才能得到流场参数表达的能量方程。做理论分析时经常用到张量形式的能量方程：

张量是矢量概念的扩展，我们并不打算对张量用过多的时间讲解，只是借助它的表示方法来分析能量方程的含义，下一次我们会对张量形式能量方程做进一步分析。