数值计算|控制方程的离散2
导读：介绍有限容积法中建立离散方程的主要方法-控制容积积法，并比较有限差分法与有限容积法的特点。
控制容积积分法就是直接对控制容积应用守恒定律建立离散方程。具体步骤如：- 将守恒型的控制方程在任一控制容积及时间间隔对时间与空间做积分。
- 选定未知函数及其导数对时间及空间的局部分布曲线(即型线)，这是规定如何从相邻节点的函数值来确定控制容积界面上被求数值的插值方式。
- 对各个项(非稳态项、对流项、扩散项、源项)按选定的型线做积分，整理成节点上未知值的代数方程。
第一步：对守恒型动量方程： 在控制容积P和时间间隔 内作积分，可以得到： 第二、三步选择型线并积分：
非稳态项：选择阶梯式(同一控制容积中各处 值相)： 对流项：采用阶梯式： 扩散项：选择一阶导数随时间作显式阶梯式变化： 进一步， 随x呈分段线性变化： 源项：阶梯式变化 ： 整理最后可以得到最终的离散形式： 在推导过程中，我们可以发现：1.型线的选取是离散过程中重要的一步，一旦离散方程完成建立，型线就不再具有任何意义。2.在选取型线时，不必追求一致，同一方程不同物理量可以有不同的分布曲线，同一物理量对不同坐标可以有不同分布曲线，同一物理量在不同项中对同一坐标的型线也可以有区别。3.型线对离散方程求解方法及结果有重要影响，所谓不同差分格式，主要是由于型线的不同导致。上一篇我们介绍了有限差分法的离散方法(包括Taylor展开法和多项拟合法)，这些方法与有限容积法中的离散方法有什么区别呢？1.角度不同。Taylor展开法和多项拟合法偏重于数学角度出发，而控制容积积分法是从物理观点分析，每个离散方程都是有限大小容积上某种物理量守恒的表达式。
2.优缺点：前一类优点是易于对离散方程进行数学特性的分析，缺点是变步长网格的离散方程复杂且物理概念不清晰，并且不能保证守恒特性；控制容积法刚好相反，其推导过程物理概念清晰，并且可以保证守恒特性，缺点是不易于进行数学特性分析。这也是有限差分法和有限容积法的基本特点。目前主流的商业软件都是以有限容积法为基础。
