非局部晶体塑性本构模型实现与案例演示

在FCC晶体中，有12种滑移系统可能在塑性变形过程中被激活

通常，样品的晶体学和应力状态是决定滑移系统是否活跃的主要因素。试验过程中试样所经历的塑性来自于激活滑移系统的贡献。临界分辨剪切应力是确定晶体滑移开始的标准，而FCC金属材料塑性变形主要由位错滑移贡献。以位错为内变量的本构方程可以对多晶材料的塑性变形做出更加物理的描述和预测，并与微尺度的实验进行对比分析。

Ma和Roters引入的基于位错密度的本构模型（Ma和Roter，2004；Ma、Roters和Raabe，2006a，b）使用移动位错ρmα，沿着滑移系统α滑动，以适应部分外部塑性变形，在基于位错的模型中，Orowan方程通常代替唯象的幂律流动方程

其中ρm是统计储存位错密度，b是伯格斯矢量，v是可移动位错密度平均速度，统计储存位错密度表示为初始统计位错密度和变形过程中统计位错密度增量之和，统计位错密度演化表示为

其中dαβ是位错增殖相互作用张量，kc和knc分别作为控制共面和非共面滑移系统相互作用系数大小的常数。量rαc是位错湮灭的位错捕获半径，并随温度和变形速率的变化（Kocks，1976），通常使用考虑统计位错密度的本构模型，即从一个材料点的加载历史可以充分描述本构行为。对于多晶体的应力-应变曲线和织构预测，温度效应，局部位错模型已被证明是强大和有效的。

然而，如果模拟规模变小，例如在专注于纳米压痕（Zaafarani et al.，20082006）和微柱压缩（Raabe，Ma和Roters，2007a）的研究中，则局部模型可能由于无法描述尺寸效应而不足，较小晶粒尺寸的强化效应是由于晶界附近非均匀塑性变形的体积分数较高。文献中有几种基于位错机制的解释，如晶界前移动位错的堆积，导致应力集中，从而增加晶界附近的滑移阻力或应变梯度，从而产生额外的位错密度增量，从而增加滑移阻力（Evers等人，2002）。此外，不同类型的实验，如微扭转、微弯曲、颗粒增强金属基复合材料的变形和显微压痕硬度测试，都清楚地显示了流动应力的长度尺度依赖性

在这些实验中，通常会发生不均匀的塑性变形，这可能会导致材料点附近的方向和应变梯度。这些梯度可能与几何必要位错（GND）相关（Ashby，1970）。在现象学模型中，如何将GND整合到本构模型中并不简单。相反，在基于位错密度的模型中，GND概念可以很容易地作为本构框架的一部分进行整合（Nye，1953），目前通用的一类将几何必要位错（GND）引入本构模型的方式是通过Nye的位错张量将应变梯度引入到GND之中

GND几何必要位错张量的演化表示为

其中：

得到统计位错密度和几何必要位错密度后，根据经典的taylor理论得到滑移系统当前时刻的临界分切应力

其中G为剪切模量。

数值模型

建立0.1*0.03*0.001mm的准二维板状多晶模型，共包含200个晶粒的80000个C3D8单元（640000个积分点），X0完全固定，沿着x1方向进行10%单轴拉伸模拟，由于梯度的引入，略微减低了求解速度，但对于收敛性的影响几何可以忽略，模型的稳定时间增量步0.001，大约求解时间5小时，模拟得到的数值结果如下：

应力分布情况

累计剪切滑移

统计位错密度SSD分布

几何必须位错密度GND分布

总位错密度分布

可以看到统计位错密度分布与滑移系统的累计剪切分布情况类似，因为计算过程中统计位错密度计算主要由不同滑移系统的剪切滑移有关，而几何必要位错密度主要分布与晶界附近区域等高应变梯度区域，最终通过硬化方程，使得该区域附近应力迅速升高，这在应力分布图中得到了良好的体现。