圣维南原理及其在有限元分析中的运用

序言：在工程问题有限元分析时，我们会首先面临分析的对象怎么取舍？载荷边界怎么简化？等等问题…。有一个力学原理，可以给我们一些启发和指引。它就是“圣维南原理”。

 

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圣维南原理

   

   

    圣维南原理(Saint Venant's Principle)是弹性力学的基础性原理，是法国力学家圣维南于1855年提出的。

    圣维南原理的内容如下：

    通俗形象不科学地打个比喻，就像咱们打 针的时候，只是针尖作用的屁 股一小点区域疼得不要不要的，手、脚等其他部位都感觉小case。

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    圣维南原理还有一种等价的提法:

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圣维南原理举例

   

   

    以下用一个简单的例子，帮助咱们理解圣维南原理。

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    一块矩形板，左端固定约束，右端施加载荷。根据圣维南原理，只要右边的载荷总大小一样，无论它是何种施加方式，只会对右端局部产生影响，而矩形板大部分区域不受影响。

    以下分别采取三种方式施加拉伸载荷：

   

a) 在右端中心处施加大小为F的集中力；
b) 在右端上下边缘施加大小为F/2的集中力，其总力为F；
c) 在右端施加大小为F/A的分布载荷P，整个端面上的总力为F。

 

    采用ANSYS进行线性静力分析，其应力分布如下图所示：

 

    以下是最大主应力矢量图。

 

    从应力分布云图和最大主应力矢量图可以看出，右端部载荷施加区域应力分布不一样。

    沿板高度中心线的应力分布如下图所示。

 

    从上图可以更明显地看出，沿板长度方向，大部分区域应力分布是一致的，但距离右端越近，三种载荷施加方式的区别越来越大。

    实际工程中，这种局部影响的“局部”究竟有多大，和不同的结构、不同的载荷相关。

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圣维南原理在有限元分析中的作用

   

   

    至今为止，圣维南原理无法用严格的数学推导来证明，但不少学者研究过圣维南原理的正确性，结果发现，它在大部分实际问题中成立。因此，圣维南原理中"原理"二字，只是一种习惯提法。在弹性力学的边值问题中，严格地说在面力给定的边界条件及位移给定的边界条件应该是逐点满足的，但在数学上要给出完全满足边界条件的解答是非常困难的。另一方面，工程中人们往往只知道作用于物体表面某一部分区域上的合力和合力矩，并不知道面力的具体分布形式。因此，在弹性力学问题的求解过程中，一些边界条件可以通过某种等效形式推出。这种等效将带来数学上的某种近似，但人们在长期的实践中发现这种近似带来的误差是局部的，对于远离这个局部的区域，这种等效的影响是可以接受的，这对工程问题的研究带来了很大的便利。

    对于工程问题进行有限元分析时，圣维南原理十分有用。

    类似于以上示例中的平板，有时候实际工程中边界条件是非常复杂的，但我们可以找一个近似等效的边界来代替，从而简化分析过程。

    实际的工程问题中，我们所关注的对象（构筑物、设备、部件等）总是处于一个复杂的系统中，我们不可能把所有关联的结构都放在一个分析项目里面，需要从复杂系统中抽取一部分结构作为研究对象，通过圣维南原理，我们可以选择合理的边界划分，而不影响我们所关注的结果。

    例如，一个与外部管道连接的容器，管接头取多长合适？圣维南原理告诉我们，影响是局部的，只要我们取的管接头长度超过这个局部影响范围，就不会影响我们关注的结果。下图中的接管长度就明显不够长，接管端部的载荷施加会影响开孔处的应力分布。

    有限元分析时，我们发现结构上某些位置的应力特别大，而大多数地方的应力并不大，它是否会影响整个结构的安全？圣维南原理告诉我们，某些影响只是局部的，因此，可以将它与其他位置区别对待。例如，压力容器分析设计法中的总体应力和局部应力划分，就汲取了这一思想。

   

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