PID系统稳定性与零极点的关系

背景

PID是十分优美的控制算法，在工业控制应用地十分广泛，有的时候，无需知道系统模型的情况下，只要经验法去调整参数P、参数I和、参数D就可以到达期望的控制效果；

不过之前一直停留在把系统当作黑盒的方式进行调试，根据系统的时间响应判断是否达到期望的效果；

以前参与无人机研发的时候，我们遇到一个问题，外部的扰动会把飞控激励起来造成机身的振动；

要解决掉的话，如果调飞控，又会对云台造成影响，最终航拍效果不太好；

我们尝试了很多工程方法，花了大量时间，都无法解决；这个项目看样子是要黄了；

后来飞控负责人和云台负责人激烈讨论，在白板上画伯德图，讲起相位裕度，幅值裕度；你的系统挪一下频谱，给我留出更多的余量；退一步海阔天空；

很神奇，后来问题就顺利解决了，项目顺利上线；

所以我感觉有必要对部分的知识点进行复习和简单的扫盲，因为尝试从数学角度对系统性能进行分析，会涉及到，系统建模，零极点，稳定性，基本差不多还给老师了，所以这里不会太深入。

线性时不变系统

通常来说，对于上述的零点和极点的分析，前提是系统需要是LTI系统(linear time-invariant system)；这里简单介绍一下，对于这种系统有两点：1 线性；2 时不变；

线性

对于系统，任意输入X，最终系统输出得到Y；

那么如果输入为K*X，那么最终输出为K*Y；

例如：

系统增益为100；

即输入5可以得到输出5*100；

那么输入5*K，可以得到输出5*K*100；

叠加性

如果系统输入X可以得到输出结果f(X)，如果X=a+b；

那么必须存在 f(X) = f(a) + f(b)；

时不变

系统中，输入信号X，则得到输出信号Y，那么一个经过了延迟T的输入信号X，得到的输出信号也只是一个被延迟T的Y，而不会是其他值；

也就是说X(t-T)的输出就是Y(t-T)；

什么是零点和极点？

在数字信号处理或者控制理论中，对于输入量和输出量，可以表示为：

如果对于进行拉普拉斯变换，那么可以得到：

对于连续系统，需要进行拉普拉斯变换变换，则从时域变换到频域；

对于离散系统，则需要进行z变换；

输入，输出以及传递函数的关系如下所示；

 

零点

上述公式中    ，存在    使得    的解，即分母的解；

极点

上述公式中    ，存在    使得    的解，即分子的解；

举例

假设存在传递函数；

则零点为    ；

极点为    ，    ；

系统的稳定的条件

从时域角度来讲：

系统的稳定与否却决于，当    ，系统输出    最终收敛，则认为系统是稳定的；具体如如下所示；

 

或者结论可以是这样子的；

稳定性判断：在零初始条件下，当且仅当    ，闭环系统的单位冲激响应为零时，系统是稳定的。

这里又引入了单位冲激响应；什么是冲激响应？

顾名思义，冲激响应，一定是一个函数，可以想象一下，感觉形状和火柴及其相似；

这画面感很强，具体如下所示；

 

所以在这里我们将上面的    进行时间T进行离散化，具体如下图所示；

所以这里我们可以发现，    可以通过单位冲激响应进行幅值变化和相位移动来表示；

实际上，我们根本只需要让这些信号都输入系统，前面讲到过线性时不变；

所以我们只需要让这些信号（1，2，3....n）中的任意一个信号进行归一化（单位冲激响应）；

对齐到t=0时刻，再对输出乘以不同系数，延迟不同时间，就得到了所有的输出.

好像有点扯远了；

所以结论成立：在零初始条件下，当且仅当    ，闭环系统的单位冲激响应为零时，系统是稳定的；

从频域角度来讲：

对于高阶系统无法求时域响应的时候，这时候就需要从闭环传递函数的零极点进行分析，从而判断系统的稳定性；

通常来说：闭环系统的闭环传递函数的极点都在S平面的左半平面，则系统稳定；

所以极点为-2，-3，在左半平面，所以系统稳定；

这里和时域上稳定性的结论如何联系起来呢？

经过拉普拉斯反变换：

在这里不难发现，从时域的角度看，当    ，    收敛；

所以闭环传递函数的极点位置在S平面的左半平面，系统稳定；

根据零极点判断系统稳定性的方法还有以下几种；

1. 劳斯稳定性判据；
2. 赫尔维茨稳定性判据；
3. 伯德图稳定性判定法（频响）；
4. 奈奎斯特稳定性判据（频响）；

结论

简单介绍了LTI系统，系统传递函数和传递函数的零极点定义，以及时域上系统稳定性和S域的稳定性之间的关联；

有点难，为了头发，暂时先到这里吧。

由于作者能力和水平有限，文中难免存在错误和纰漏，请不吝赐教。