期望、有效值、方差、相关系数、自相关函、互相关函数，还分不清吗？

1.    期望

期望也就是平均值，是一个数值，反应的是随机变量平均取值的情况，期望也叫做加权平均。在信号中代表直流分量。

当随机变量X满足均匀分布时，对一段长度为N的离散序列X=x[n]，n=0,1,2….N-1,其期望E(X)计算过程为：

举例子：对于长度为10的离散型随机变量X=sin(t)，取一个周期，求数学期望E(X).

这就是求正弦信号在一个周期内的均值。

2.    有效值(均方根值RMS，root-mean-square）

有效值也是也个数值，又叫均方根，我们以X=Asin(t)这个信号为例。最大值Vmax=A，峰峰值Vpp=2A，假设此电压信号作用于一个电阻为1Ω的负载，根据焦耳定律：

对于一个周期的正弦信号X=Asin(t)而言，我们计算它在一个周期2π的时间内产生的热量，还要对时间进行积分，即：

假设在相同时间2π内，有一等效直流电压Y作用于R=1Ω的电阻，其产生的热量:

所谓有效值，指的是此直流电压Y产生的热量等效于交流电Asin(t)产生的热量，二者效果一样，所有叫有效值。

取Q2=Q，

推广上面的计算过程，对于离散序列，可以得到均方根一般计算公式：

3.    均方值

RMS的平方就是均方值MS(mean-square value)，意思是均方根值的开方。

4.    方差

方差是一个具体的数，符号为，

衡量的是各数据偏离平均值的大小，是偏离值平方的平均值(有点拗口)。

方差越小，数据越集中，偏离程度越高；

方差越大，数据越分散，偏离程度越低；

对于一段长度为N的离散序列X[n]，其平均值(期望)为E，则方差：

有的同学看到方差的另一种计算公式：

为什么分母有N-1和N的区别呢？

N-1对应的是无偏估计；N对应有偏估计，其方差<=真值方差。matlab函数var默认使用的是N-1的无偏估计计算方法。

使用无偏估计，对正弦信号X= sin(t)求方差，结果为0.5556；

使用有偏估计，求的方差为0.5

5.标准差(Standard Deviation)、均方差

标准差是把方差取根号得到的。

因为方差与处理的数据的量纲有差异，所以有时我们用标准差来描述数据偏离程度。

6.    均方误差，MSE（Mean Squared Error)

和方差很像，区别在于MSE关注的是预测数据与真实值的偏离程度。

方差是数据与均值的偏离程度。

f表示预测值，y表示真实值。

7.    均方根误差RMSE

8.    协方差Cov

协方差表示两个变量之间有关系，定义式为:

Cov(X,Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

上面的计算过程比较麻烦，有更简单的计算公式：

Cov(X,Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY) - E(X)E(Y)

强调一点：事件X、Y相互独立，则Cov(X,Y)=0；

反之，Cov(X,Y)=0，X、Y不一定相互独立。

举例子，对于X=sin(t)和Y=0.5+0.5sin(t)两个离散序列。求其协方差：

为0.25，如果直接调用matlab函数计算：cov(X,Y)结果是0.2778

因为matlab使用的是无偏计算公式，前文有介绍，此处不多讲。

9.相关系数

协方差只表示两个事件有关系，数值可以大于1也可以小于1，怎么评估具体关系程度呢？引入相关系数概念，matlab函数为：corr或corrcoef

|ρ|≤1；

        ρ=±1，表示两个变量线性相关

        ρ=0，表示两个变量无关

        ρ=other，表示两个变量有些关系

相关系数计算公式如下，各参数前文一一介绍过：

我们计算离散信号X=sin(t)和Y=0.5+0.5*sin(t)相关系数;

得到相关系数为1，说明二者完全线性相关，即：Y=0.5+0.5X。

如果使用matlab自带函数求解，结果是一样的。

如果把Y换为Y=0.5*sin(t+0.5)，则求解到的相关系数为0.8776，说明二者非常接近线性相关。

10.    自相关函数

顾名思义，这是一个函数，上面介绍那些参数指标都是具体的数值，从现在开始是介绍函数。下面是自相关函数的求解公式。描述的是同一个信号在不同时刻的相关程度，matlab公式为xcorr。

有什么作用呢?比如你有一个带噪的信号Y，其中既有有用的信号X，也有噪声N，噪声太强烈，信噪比很低淹没了正弦信号，就可以用自相关函数提取出X的信息。

Y=X+N=sin(t)+noise(t)，

下图第一行为原始带噪的信号，我们完全区分不出来其中的正弦信号；

第二行为求解得到的自相关函数；第三行为隐藏在噪声中的sin(t)信号，可以看出求解自相关函数后，可以得到一个比较干净的信号，其频率和目标信号sin(t)频率一样。

11.    互相关函数

把自相关函数计算过程稍微变化，则得到求解互相关函数的计算公式：

matlab函数为[a,b]=xcorr(X,Y,'unbiased');

求互相关的过程和卷积灰常灰常像，所以求卷积的过程也可以认为是求相关。