显式分析中谨慎使用质量缩放Mass scaling

质量缩放（Mass scaling），是显式动力学分析中很多人都喜欢用的一种手段，其好处就是可以显著提高显式动力学分析过程中的稳定时间增量，进而缩短总的计算周期。然而，在使用过程中如果搞不清质量缩放的原理及影响，很容易导致计算结果的失真。

1.稳定极限

我们知道，显式分析中系统的稳定时间增量非常小，大约在1e-9~1e-7 量级，远低于隐式分析的时间步长，之所以采用这么小的时间增量，是为了保证显式求解的精度，如果稳定时间增量过大，超出系统的稳定极限，会导致数值结果不稳定。

稳定极限：理论上，一般依据系统的最高频率来定义，无阻尼时的定义如下：

一个复杂系统的实际最高频率依赖于许多相互作用因素，难以计算出确切数值。研究发现，基于一个个单元确定的最高频率常常比整个系统的最高频率要高，单元的稳定极限可以估算如下：

其中Le是单元特征长度，Cd是材料的波速，Cd定义如下：

其中，E是杨氏模量，ρ是密度。

可以看出：

保守起见，对于一个含有许多单元的系统，采用最短边长来估算稳定极限。

2.为什么要慎用质量缩放?

帮助文档中对质量缩放的适用范围是这样定义的，“Mass scaling is often used in Abaqus/Explicit for computational efficiency in quasi-static analyses and in some dynamic analyses that contain a few very small elements that control the stable time increment”。即准静态分析及稳定时间增量受少数小尺寸单元限制的动态分析中。

准静态分析的前提是动能与内能的比值不超过5%或加载速率小于材料波速的1%，这样才能近似忽略动力学方程中的前两项惯性力的影响，近似看成一个准静态过程，用显式动力学方法去求解一个准静态问题，当然实际工程问题分析中，有时候5%的限定还是过大了。

而使用了质量缩放以后，惯性力项发生变化，如果质量缩放使用不合理，会严重破坏准静态条件，当准静态条件不满足时，分析结果也就不准确了。

准静态问题尚且影响这么大，动态分析就更不用说了，动态问题中，质量缩放直接影响系统的质量特性，盲目的使用质量缩放只会导致错误的结果。尤其是对于一些喜欢将目标稳定时间增量设置成固定数值的同学。如下图所示的Abaqus软件中的情况，如果系统默认的稳定时间增量是1e-10，那么整个模型计算下来可能需要好几天才能完成，为了提高计算效率，人为将目标稳定时间增量提高到1e-7，在材料模量、单元尺寸都不变化的情况下，稳定时间增量要达到这么大幅度的提升，密度得增加1e6倍，动力学方程中的惯性力项将急剧增大，结构的整体质量特性都发生了翻天覆地的变化，计算结果离真实结果可能相差十万八千里。

 

所以，对于动态问题，质量缩放的使用要格外慎重，缩放方式也要慎重选择，且仅能用于少数几个单元，以保证不影响结构的整体质量特性。至于如何使用质量缩放，网上的帖子很多，就不在这里赘述了。

3.如何提高稳定时间增量？

除了质量缩放之外，影响稳定时间增量的另一个重要因素是单元特征长度Le，因此，要首先保证整个模型中避免出现个别极小单元或极小单元边。在Abaqus中，可以在Mesh模块下“verify mesh”中检查网格质量，如下图所示。

 

也可以在任务监控中查看哪些单元影响了整个系统的稳定时间增量，status文件中会将最临界的10个单元列出来，一一去检查这几个单元，确保没有极小单元或极短边。

 

如果上述方法检查过后，效果不明显，有些显式动力学分析软件如Abaqus或Radioss中还提供了另一种方法，叫“subcycling子循环技术”。

4.subcycling子循环技术

子循环技术可以实现不同的单元集 合采用不同的稳定时间增量，当一个模型的稳定时间增量受限于少数单元集 合时，对该单元集使用子循环，可以减少整个模型的分析时间。

目前，Abaqus CAE中暂不支持子循环技术，使用时需要编辑关键字，格式如下：

*SUBCYCLING, ELSET=element_set_name

其中element_set_name即为需要定义子循环的单元集 合名称。

以下是关键字编辑模板，注意使用位置：

*HEADING

…
*ELSET, ELSET=ZONE1
…
*SUBCYCLING, ELSET=ZONE1
*************************
*STEP
*DYNAMIC, EXPLICIT
Data line to specify the time period of the step
…

*END STEP