分析步、增量步与迭代

Abaqus/Standard 在求解非线性问题时需要进行迭代计算，只有深刻理解分析步（step）、增量步（increment）与迭代（iteration）等概念，才能根据具体模型来设置合理的增量步大小，加快分析收敛的速度，并根据 MSG 文件的迭代过程信息、错误信息或警告信息来修改模型。

对分析步、增量步与迭代等概念简述如下：

1）分析步：一个模型可以由一个或多个分析步构成，用来描述一系列相互关联的事件。

2）增量步：对于非线性问题，位移和载荷的关系是非线性的，无法一次完成整个分析步的求解，这时就需要将整个分析步分解为多个增量步来依次求解，沿着非线性响应的变化路径逐步得到整个分析步的最终响应。

3）迭代：Abaqus/Standard 在一个增量步中寻找平衡解的尝试称为“迭代”。如果当前解满足了平衡条件（达到收敛），则此增量步计算结束，并开始求解下一个增量步；如果当前解不满足平衡条件，Abaqus/Standard 将会尝试进行下一次迭代，继续寻找平衡解。

下面详细讨论一下Abaqus/Standard 求解非线性问题的具体过程。

默认情况下，Abaqus/Standard 使用自动增量步法求解非线性问题，即用户在建模时指定初始增量步、最小增量步、最大增量步和最大增量步数目等参数，在求解过程中 Abaqus/Standard 会根据收敛情况自动确定各个增量步的大小。具体过程为：

1）Abaqus/Standard 首先使用用户指定的初始增量步进行迭代。初始增量步的默认值等于当前分析步的全部时间，即将当前分析步的载荷全部施加在一个增量步中。

2）如果在16次迭代之内获得了收敛解，则成功结束当前增量步，并开始求解下一个增量步。如果两个连续的增量步都在5次迭代之内就获得了收敛解，Abaqus/Standard 自动将下一个增量步增大为当前增量步的150％，否则下一个增量步的大小就与当前增量步相同。增量步的上限为用户设定的最大增量步大小（默认值等于分析步时间）。

3）如果经过16次迭代仍没有获得收敛解，或者计算结果是发散的，Abaqus/Standard 会将增量步减小为当前增量步的25％，重新开始迭代尝试，此过程称为“折减”（cutback）。如果以减小后的增量步依然无法在16次迭代之内找到收敛解，Abaqus/Standard 将重复上述折减过程，再次将增量步减小为25%。这一过程反复进行，直至找到收敛解，或者出现下列情况而中止分析（在 Job 功能模块和 MSG 文件中可以看到相应的错误信息）：

a）折减次数超过5次，相应的错误信息为：

***ERROR: TOO MANY ATTEMPTS MADE FOR THIS INCREMENT: ANALYSIS TERMINATED（对当前增量步作了过多次迭代尝试）

b）折减后的增量步小于用户设定的最小增量步大小（默认值为分析步时间乘以10^-5），相应的错误信息为： 

***ERROR: TIME INCREMENT REQUIRED IS LESS THAN THE MINIMUM SPECIFIED（所需增量步小于所设定的最小增量步）

☆ 提示：上述信息是分析非线性问题时最常见的错误信息之一，它表明分析无法达到收敛。非线性问题不收敛，往往是因为模型本身有问题，例如存在刚体 位移、过约束、接触或塑性材料定义不当、网格过于粗糙或过于细化等等，这时应查看 MSG 文件中的警告信息，然后采取相应措施。仅仅将最小增量步设得更小一些，往往并不能解决问题。

另外，如果一个分析步的增量步总数超过了用户设定的最大增量步数目（默认值为100），分析也会中止，并显示下列错误信息：

***ERROR: TOO MANY INCREMENTS NEEDED TO COMPLETE THE STEP（所需增量步数目大于所设定的最大增量步数目）

此时，可以将默认的增量步数目100增大为200或更大。

上面提到的“16次迭代”、“增量步减小为25％”、“折减次数超过5次”等都是 Abaqus/Standard 默认的自动增量步控制参数。对于大多数分析，使用这些默认参数足以满足分析需要。如果想修改这些控制参数，请参见 Abaqus 帮助文档《Abaqus/CAE User's Manual》第14.15.1节“Customizing general solution controls”、《Abaqus Analysis User’s Manual》第7.2.2节“Commonly used control parameters”和第7.2.4节“Time integration accuracy in transient problems”。在Abaqus/CAE中的操作如图1所示：

图1  修改求解器中的增量步、迭代步的默认设置