论局部化问题和非局部理论(1)
引言
应群内一位同学(微 信号是Sunking_Geo)的要求，发布他的研究性短文(Technical Notes)，该同学毕业于同济大学。借此机会，我们也热忱欢迎其它同学在本公 众 号上发布自己的学术研究和工程研究心得，宣传自己的学术观点和著作以及工程见解。下面全文展示该同学提供的文章(没改动任何字句)。最近几年，一直在做一个研究：应变局部化。局部化问题是固体力学和土木工程等领域最具挑战性的研究领域之一，无论是理论还是数值计算，目前为止也没有完全解决，也不可能根本解决。土壤边坡稳定性问题
所谓局部化问题，就是变形和能量耗散集中于局部的区域，能量出不去，集中于一个狭小的区域，连续力学不能准确捕捉它，导致有限元分析出现伪的数值结果，软化阶段不一致。这个问题究其原因就是由于局部化问题的多尺度导致的，剪切带宽度非常小，自然创建了一个尺度比例，可是由于有限元网格不够密，根本捕捉不到，即使网格加密到足够密，zero的尺度比例到达，多尺度的问题出现了，连续力学无能为力，追求其祖先，原来牛顿第二运动定律也不是万能的，终于让我们相信哲学了，因为平衡方程是从牛顿那里传宗接代下来的。
说句实话，局部化问题，如果是工程应用的话，根本没人用，但是做学术的话，就不一样了。我们很多人天天用ANSYS、ABAQUS算，以为很厉害，其实都是错的，或者说结果不准确，哪怕是精度够，ABAQUS没有解决局部化这个功能，因为没有考虑局部化问题，即使自己得意洋洋，不可能完全取到，这是自然规律，人类的智慧是无穷的，发展的，但是永远不能解决所有的问题，牛顿也万万没想到局部化问题会阻碍它提出的力学理论的发展。
很多学者试图讨论这个问题，出现了很多方法，确实避开了这个问题。1989年，Needleman院士发现用依赖于率的模型可以避开局部化，因为一个时间迟滞效应，类似于尺度比例，所以粘塑性的模型一般没有局部化问题，后来很多人FOLLOW。
然而，也不绝对，MIT的教授Annand教授就发现只有强依赖于率是可以完全摆脱局部化的，弱不依赖于率是可能存在局部化问题的，这就是为什么依赖于率的本构目前仍然有很多学者研究局部化问题的原因。例如，有很多学者将局部化问题和扩展有限元结合起来研究能量耗散和裂纹萌生、扩展。
第二，Cosserat微极理论，1909年就提出来了，将本构模型的张量常数旋转一下，可以一定程度解决局部化问题，最近20年威斯康辛麦迪逊大学一个教授在研究这个理论，大连理工大学李锡夔老师前辈也研究讨论了这个理论。其实这两个理论提出的出发点是不一样的，就是引入尺度比例参数，就好像一个是工匠，一个是木匠，谁也说不出谁的优点和缺点，但是效果是一样的，但是非局部积分形式从变分形式上看更加合理。梯度理论是对局部变量做梯度处理，分为隐式和显式梯度，较早是出自希腊Triantafyllidis and Aifantis, 1986，后来1996年荷兰Deflt大学、埃因霍温大学那班人推导出了梯度有限元格式，当然很多牛人也做了很多工作，然而梯度理论的物理意义尽管有一些，但是并不适应于广泛的材料，只是数学上的处理。
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| Nicolas Triantafyllidis | Elias C. Aifantis教授 |
非局部积分理论最早出现于1900年以后，后来最具代表性的工作是普林斯顿大学Eringen (爱林根)教授(2009年去世)和西北大学Bazant院士，假设一个点的运动不仅依赖于这个点本身，而且依赖于率附近一个区域的运动（类似于牛顿万有引力定律），本质上是引入了一个Kernel函数，附加一个尺度比例。国际数值计算方法工程的主编、格拉斯哥大学de Borst教授早在1996年就指出了他们之间的关系，通过泰勒展开，非局部积分理论可以导出非局部梯度理论。爱林根将毕生精力奉献给了非局部积分理论，写了专著Nonlocal continuum field theories，个人看过好几遍，理论上基本革新了连续介质理论。应该说，非局部积分理论目前在很多领域都有应用，力学，光学、电磁等。然而，非局部积分理论和梯度理论一样，面临着巨大的挑战，从哲学角度看一个理论的出现必然引发更多的学术问题，首先是尺度比例的标定，Bazant院士表明这个尺度比例不可能根本标定，只能近似。其次，从本质上说，对于接近于非局部边界处的积分点，其贡献于非局部平均化的作用要比远离非局部边界处的积分点要小。但是非局部是对所有积分点进行平均处理，因此，在边界处的损伤要延迟，出现所谓的“人工增强”效应。如何降低非局部边界条件对非局部平均化的影响也是一个关键问题。再次，由于完全破坏的区域经过非局部处理后可能恢复传递应力，产生“应力自锁”现象，造成数值结果出现误差，因此非局部化过程中如何降低完全破坏区域的承载能力，确保计算结果的准确性和可靠性，也是一个关键问题。当然，对于实际的应用，我们关心的是如何有限元实现，最近，本人用ABAQUS-UMAT、USDFLD和UEXTERNALDB半隐式(每次增量步过程中积分点平均处理)实现了非局部积分理论。我们也看到牛津大学Alexander M. Korsunsky教授(目前Materials and Design杂志主编)用完全隐式实现了非局部积分理论，当然不是用ABAQUS(ABAQUS做不到)。根据我们的计算结果，确实非局部积分理论无论是从载荷响应和破坏进化云图，确实使得计算结果更加客观，这就是他的魅力所在，爱林根大师的远见，即使只是弹性损伤也是获得显著的效果。然而，我们应该看到，非局部积分理论的实现有两种不同的方法，一种是上面说的，非局部根本上贡献于一致切线刚度，所有的其他变量因此都是非局部的；另外一种就是只有等效应变和损伤变量是非局部的，导致应力是非局部的，但是应变和切线刚度矩阵是局部的。然而，我们也应该看到，非局部积分点之间的相互作用导致了刚度矩阵带宽的增加，这是另外一个附加的问题，计算量剧增，所以我们用了动态分配数组和释放数组内存的方法，然而也是不足够的，我们期望今后高性能计算机能够完全解决这个问题。
