CAE工程分析 | 极限载荷法

①“确定实际载荷的零曲率准则”—章为民

②“极限载荷法在应力分析中的应用”—王小敏

③“承压设备强度数值模拟若干问题及工程应用研究”—苏文献

上一篇文章"CAE工程分析 | 应力分类设计"，我们聊到了应力分类设计

相对于传统的基于弹性方法计算+弹性失效准则校核的设计理念，应力分类设计引入了塑性失效准则，并根据不同类型应力对结构失效影响的严重程度进行了分类，进一步提高了所设计结构的材料利用率

但是也能发现，应力分类设计至少有几点不足：

①在压力容器中，应力分类的重要手段：应力线性化，只是单纯的将应力根据均匀，线性，非线性分布特点进行分类，但对于其中的一次应力和二次应力成分不容易区分出来，这就导致校核时可能过于保守或者激进（可以通过其它方法区分）

②在其它行业中，结构应力并不像压力容器行业一样能够根据应力的分布规律直接归类为薄膜应力，弯曲应力和峰值应力，这就导致该方法在不同行业中推广较为困难（典型比如峰值应力可以是均匀的，线性的和非线性的）

③就设计方法而言，结构的局部塑性流动是一个非常复杂的过程，直接通过弹性方法无法捕捉到完整屈服行为，因此使得该方法在很多时候仍然较为保守，没有充分考虑到周围结构的后继承载能力

那么有没有一种方法能够避免上述问题呢？这就是今天要聊的极限载荷法

如上图所示“L”型塑性支架，固定上端面，在右侧端面施加向下一定大小的集中载荷

现提取其加载端面中心的力-位移曲线，可以观察到：

该曲线前期上升较快，代表结构刚度较大，后期上升较慢，代表结构刚度较小，为便于描述，进行如下分区：

如上图将曲线按照规律分为：第一线性段，膝部，第二线性段

其中第一线性段和膝部的转接点为膝部起点，第二线性段和膝部的转接点为膝部端点

如果从力学角度来看，第一线性段材料基本处于线弹性阶段，结构刚度较大；跨过膝部起点后，结构局部开始出现塑性；伴随着膝部逐渐上移，局部塑性扩展；达到膝部端点后，至少有一个承载断面全部进入塑性；到达第二线性段后，结构从该截断面开始出现大区域的塑性，结构刚度较小

也就是说，整个前期加载过程中至少有两个关键点需要注意：

①膝部起点，代表结构局部开始出现塑性

②膝部端点，代表结构至少某一承载断面开始全部进入塑性

如果按照传统弹性失效准则（开始出现塑性），结构的极限承载能力为膝部起点对应的加载值，而对于塑性失效准则（主要承端面全部进入塑性），结构的极限承载能力为膝部端点对应的加载值，而这就是典型的利用极限载荷法确定结构承载极限的例子

相比于应力分类设计，极限载荷法实际就是使用各种方式直接对整体结构进行弹塑性分析，通过典型部位的力-位移曲线，力-应变曲线等，根据一定的塑性失效准则判断结构极限承载能力的方法

实际上通过曲线膝部得到结构极限载荷只是众多判断标准之一，下面仅结合部分标准及论文内容和个人理解对这些方法进行一个简单的阐述

判断结构的塑性承载极限一般可以从两种角度：

①结构最大塑性应变量

②载荷曲线特征点

— 最大塑性应变判断—

如上图所示，最大塑性应变判断表示，当结构最大塑性应变达到许用塑性应变值时，结构将视为”失效“，此时对应的载荷值为极限载荷

早些年，ASME中曾规定极限载荷为引起0.2%永久应变对应的载荷值

目前，EN 13445-3中规定极限载荷为最大主应变达到5%对应的载荷值

从描述中不难看出，早期ASME的规定相对还是比较保守，相当于认为0.2%永久塑性应变所产生的残余变形较小，实际类似于弹性设计准则

而5%最大主应变的说法个人理解应该是对大量压力容器进行仿真—试验对比得到的一个校核参数（参考文献②），具体如何得到不得而知

虽然使用最大塑性应变判断结构的承载极限对于有限元计算来说比较方便，但是对于试验测试而言却比较困难，主要因为试验很难直接测得结构的最大应变位置

另外，如果将压力容器换成其它机械结构，5%的塑性应变是否还能适用是一个问题？原则上应该需要根据不同结构的特征以及大量试验对比进行调整

— 载荷曲线特征点判断 —

除了通过最大塑性应变来判断结构的承载极限外，很多标准中还推荐使用载荷曲线特征点来判断结构的极限载荷

典型判断方式有以下几种（双切线法，零曲率法（参考文献③），两倍弹性斜率法（参考文献①））：

在各种判断方法中，个人比较倾向的是章为民等提出的零曲率准则

该准则表示：实际极限载荷定义为与载荷-位移曲线或载荷-应变曲线上的”零曲率“点相对应的载荷，但是由于实际材料存在塑性流动和强化，因此不存在曲率为零的点，因此工程中常把出现显著塑性流动时的载荷定义为工程极限载荷（参考文献③）

也就是说前文所述膝部端点就是通过零曲率准则判断的极限载荷值

为什么个人比较推荐零曲率准则？主要原因有两点

①对应的物理意义清晰

②结果发散性较小

①大家相对好理解，因为零曲率准则给出的极限载荷对应的是结构出现明显塑性流动和强化值，也就是典型弹塑性曲线的膝部端点

②代表的意思是，不同部位分别提取力-应变曲线，会发现通过零曲率准则得到的极限载荷值接近，也就是说该值受提取应变位置的影响较小

如上图，分别提取A、B、C三个点的力-总应变曲线，可以看到，分别通过零曲率准则得到的极限载荷值非常接近，而其它几种方法得到的极限载荷值受不同部位曲线形式的不同影响较大

【注：零曲率的另一种特殊判断方法，即将材料设置为理想弹塑性，若有限元分析由于不能继续承载而导致难以收敛，则此时对应的载荷值即为极限载荷值】

当然，极限载荷法终归只是一种防止结构出现过量塑性变形的校核方法，对于结构的安定性问题，疲劳问题还需要进一步考虑