【FCA-Chp-5】第5章 自由边应力

对称层压板的面内载荷N_x、N_y、N_xy仅在层压板内部引起面内应力σ_x、σ_y、σ_xy。靠近自由边，由于面内应力分量在自由边不平衡，引起层间应力σ_z、σ_yz、σ_xz。

为了说明，考虑一个长的层压板，长为2L，宽2b << 2L，厚度2H < 2b（图5.1）。层压板仅受到轴向力N_x作用。对于均衡对称层压板，中面应变和曲率（见式3.6）在整个截面上都是均匀的，由下式给出。

式中，α₁₁、α₂₂为面内层压板柔度矩阵的元素，由式3.8求逆得到；也可见[1，式6.21]。对于单层板k，由本构方程[1，式6.24]可得

图5.1 拉伸试样¹

从层压板内部取出一块层压板，相对两面上的应力σ_y、σ_xy将会平衡；该分离体不需要任何附加的外力而保持平衡。在这种情况想，我们说应力分量是自平衡的。在图5.1中自由边上，σ_y = σ_xy = σ_yz = 0。如果σ_y和σ_xy在层压板内部不为0，但是在自由边上为0，那么一定有其他应力平衡层压板内部的应力。

¹ 重绘C. T. Herakovich的《Mechanics of Fibrous Composites》中的图8.1，版权（1998），得到了John Wiley & Sons, Inc.的许可。

5.1 泊松不协调

单层板在一个方向受到拉力时，会使单层板在与载荷垂直的方向上收缩。如果泊松比不同的两个或多个铺层固化在一起，将产生层间应力，并使所有铺层在界面处的变形相等（图5.2）。在整个层压板厚度方向上的层间应力加起来等于0，因为没有施加横向载荷N_y。换言之，它们是以下面的方式自平衡的。

式中，z₀和z_N分别是底面和顶面的坐标。

图5.2 泊松效应²

² 重绘C. T. Herakovich的《Mechanics of Fibrous Composites》中的图8.14，版权（1998），得到了John Wiley & Sons, Inc.的许可。

5.1.1 层间力

如式5.3所示，当沿层压板整个厚度方向加起来时，使用经典层压板理论（CLT，[1，第6章]）计算得到的面内应力σ_y是自平衡的。但是在层压板的一部分（图5.3中z_k以上），应力σ_y可能不是自平衡的。因此，一个或多个铺层的收缩或膨胀必须由层间剪应力σ_yz平衡。因为没有剪切载荷加载到层压板，所以σ_yz在试样整个宽度的积分必须为0。然而，在层压板半宽度内，如果表面上或下侧的应力σ_y不能自平衡时，则存在层间剪力。这些单位长度力的合力可以用剪应力σ_yz在层压板半宽度（0 < y < b）的积分来估计。并有以下平衡

图5.3 子层压板的分离体（用于计算泊松引起的力F_yz和弯矩M_z）

层间剪应力σ_yz不能从经典层压板理论得到，但是可以得到横向应力σ_y。因此，使用已知的横向应力分布σ_y，可以计算沿层压板厚度方向任何位置的层间剪力的合力。

均衡对称层压板在拉伸载荷作用时，在每个单层板中的面内应力σ_y是常量。因此，当评估一个界面（位于z = z_k）上的层间力时，上面的积分简化为

式中，t_i为单层板的厚度。

层间剪力F_yz的大小可以用于对比不同铺层顺序在试图最小化自由边层间剪应力σ_yz时的效果。然而，该力并不表示实际应力的大小。因此，它可以用于对比不同铺层顺序，但不能用于失效准则。

5.1.2 层间弯矩

由于试样对称，层间剪应力σ_yz产生的剪应变γ_yz必须在中心线处消失。因此，在中心线处σ_yz = 0。同样，在自由边，σ_yz必须消失，因为σ_zy在该处消失。但是对于任意位置z_k以上的部分，σ_y不能自平衡，σ_yz在自由边到中心线之间的某些位置一定不为0。σ_yz的数值解与距离y/b的关系在图5.5中绘出（译者注：在中心线处y = 0，在自由边y = b）（原文from the free edge，应为from the center line）。图5.5中的曲线揭示了σ_yz在靠近自由边处增加非常快，然后在层压板内部逐渐减小。

图5.4 泊松效应引起的层间力F_yz和弯矩M_z

图5.5 碳/环氧[0/90]_S层压板在90/0界面处的层间应力σ_yz和σ_z（有限元分析）

一个不能自平衡的应力产生力F_yz（式5.5）和一个弯矩。为了计算弯矩M_z，取应力σ_y对图5.3中的A点计算弯矩。由σ_y产生的非零弯矩只能与由横向应力σ_z产生的弯矩平衡。因此，弯矩M_z定义如下

式中，z_k是单层板k的上表面坐标，z_N是层压板上表面的坐标（对穿过层压板厚度的坐标系的定义见[1，图6.6]）。

应力σ_z的存在由拉伸试验中自由边的分层证实，引起自由边分层的拉伸载荷远低于层压板的失效载荷。弯矩M_z的大小可以用于对比不同铺层顺序在试图最小化厚度方向应力σ_z时的效果。但是，该弯矩并不表示实际应力是多大，因此不能用于失效准则。

均衡层压板受拉伸载荷时，在每个单层板内的面内应力σ_y是常量。因此，当评估一个界面（位于z = z_k）上的层间弯矩时，上面的积分简化为

虽然σ_z是σ_yz的副产品，由于对称σ_yz的在y = 0处消失，那么σ_z是必须在试样中心线（y = 0）处消失，但是靠近自由边处σ_z很大。因为没有施加竖直载荷，σ_z的积分必须为0。因此，σ_z在某些区域是拉应力（正的），在另一些区域为压应力（负的）。数值解揭示了σ_z靠近自由边处迅速增大，向层压板内部将至负值，然后逐渐减小。σ_z的数值解与距离y/b的关系在图5.5中绘出。然而，当y → b时，σ_z → ∞。这是一个奇异点，有限元分析不能很好处理。因此，即使对于y < b，结果将非常依赖于网格细化程度。此外，因为σ_z → ∞，如果没有进一步考虑，结果不能用于失效准则。

例5.1 计算均衡对称铺层[0₂/90₂]_S层压板（图5.1）在N_x = 175kN/m载荷作用下，所有界面的F_yz和M_z。使用碳/环氧单向板的材料参数E₁ = 139GPa，E₂ = 14.5GPa，G₁₂ = G₁₃ = 5.86GPa，G₂₃ = 5.25GPa，v₁₂ = v₁₃ = 0.21，v₂₃ = 0.38。单向板厚度为t_k = 0.127mm。

解5.1 面内应力σ_y在厚度的分布可由[1,6.2节]中描述的过程得到，该过程在CADEC[12]中实现。应力值在表5.1中给出。

为了计算F_yz，使用式5.5计算给定界面以上所有铺层的贡献。均衡层压板在面内载荷作用下，面内应力σ_y在每层中为常数，因此使用式5.5。对于其他情况，可以对式5.4精确地积分，因为σ_y在z向是线性的，或者将每层内σ_y的平均值代入式5.5近似计算F_yz。

因为层压板是均衡的，且仅有面内载荷，M_z可以用式5.7计算。否则使用式5.6，或者将每层内σ_y的（原文σ_z）平均值代入式5.7近似计算M_z。

结果在表5.1和图5.4中给出。

表5.1 泊松层间力F_yz

例5.2 绘制泊松引起的应力σ_z和σ_yz关于y（0 < y < b，图5.3）的曲线。应力σ_z和σ_yz在[0/90]_S层压板中面以上的90/0界面。材料参数为E₁ = 139GPa，E₂ = 14.5GPa，v₁₂ = v₁₃ = 0.21，v₂₃ = 0.38，G₁₂ = G₁₃ = 5.86GPa，G₂₃ = 5.25GPa。取2b = 20mm，试样长为2L = 80mm，每层厚度t_k = 1.25mm。通过在x = L一端施加统一的位移，对试样加载统一的应变ε_x = 0.01。对每层单层板使用正交各向异性实体单元。向自由边方向细化网格。每层单层板厚度方向至少使用2个二阶单元，靠近自由边处单元的长厚比接近于1。

解5.2 注意，不需要对整个几何建模。可以使用对称，仅对板的1/8进行建模，即x > 0，y > 0，z > 0（图5.3）。因为任意y-z截面有相同的行为，仅需对x = 0和x = L’之间的一小段建模。因为自由边效应同样发生在x = 0 和x = L’的端面，取L’ = 8h = 32t_k，t_k = 1.25mm（原文2.5mm），绘制x = L’/2处的结果，以避免模型两个加载端的自由边效应。结果在图5.5中给出。见下面的伪代码和图5.5。

i. 设置工作路径

菜单：File，Set Work Directory，[C:\SIMULIA\user\Ex_5.2]

菜单：File，Save As，[C:\SIMULIA\user\Ex_5.2\Ex_5.2.cae]

ii. 创建部件

模块：Part

         # 看图5.3，沿全局Z轴向的铺层厚度tk=1.25 mm

         # b=10 mm，沿X轴的长度is L=40 mm （如图5.3中1所示）

         # 在中面以上画第3、4层

菜单：Part，Create

         3D，Deformable，Solid，Extrusion，Approx size [100]，Cont

菜单：Add，Line，Rectangle，[0,0]，[40,10]，X，Done，Depth [2.5]，OK

         # 需要将实体分割为2层

菜单：Tools，Datum，Plane，Offset from ppal plane，XY Plane，[1.25]

         X，# 关闭Create Datum对话框

菜单：Tools，Partition，Cell，Use datum plane

         # 选取平行于XY平面的面Create partition，Done

         # 关闭Create Partition对话框

iii. 创建装配

模块：Assembly

菜单：Instance，Create，Independent，OK

iv. 定义材料、截面并赋截面给部件

模块：Property

菜单：Material，Create

         Mechanical，Elasticity，Elastic，Type：Engineering Constants

         [1.39E5  1.45E4  1.45E4  0.21  0.21  0.38  5.86E3  5.86E3  5.2536E3]，OK

菜单：Section，Create，Solid，Homogeneous，Cont，OK

菜单：Assign，Section，# 选取铺层3（即分割面下侧实体），Done，Section-1，OK

         # 选取铺层4（即分割面上侧实体），Done，Section-1，OK，Done

         # 给90°铺层定义材料方向（靠近中面）

菜单：Assign，Material Orientation，# 选取铺层3，Done

         Use Default Orientation，Definition：Coordinate system

         Additional Rotation Direction：Axis 3

         Additional Rotation：Angle [90]，OK

         # 给0°铺层定义材料方向（靠近上表面）

菜单：Assign，Material Orientation，#pick layer 4，Done，

         Use Default Orientation，Definition：Coordinate system

         Additional Rotation Direction：Axis 3

         Additional Rotation：None，OK

         # 查看方向：

         # 在左侧模型树，

         # Models，Model-1，Parts，Part-1，Orientations

         # 只有2个SYSTEM：<Global>入口 ，每层一个

v. 定义分析步

模块：Step

菜单：Step，Create

         Procedure type：General，Static/General，Cont，OK

vi. 添加载荷和边界条件

模块：Load

菜单：BC，Manager

         Create，Name [DISP]，Step：Step-1，Disp/Rota，Cont

         # 选取x=40处的面，Done，# 勾选：U1 [0.4]，OK

         # 可能需要转动模型以便选取面

         Create，Name [XSYMM]，Step：Initial，Symm/Anti/Enca，Cont

         # 选取x=0处的面，Done，XSYMM，OK

         Create，Name [YSYMM]，Step：Initial，Symm/Anti/Enca，Cont

         # 选取y=0处的面，Done，YSYMM，OK

         Create，Name [ZSYMM]，Step：Initial，Symm/Anti/Enca，Cont

         # 选取z=0处的面，Done，ZSYMM，OK

         # 关闭BC Manager对话框

vii. 对模型划分网格

模块：Mesh

         # 向y=10的边定义种子偏置

菜单：Seed，Edges

         # 选取平行于全局Y轴的6条边，Done

         Method：By number，Bias：Single

         Number of elements [10]，Bias ratio [20]，Apply，OK

         Flip bias，# 如果需要调整偏置方向，指向y=10

         # 选取平行于全局X轴的6条边，Done

         Method：By number，Bias：Double

         Flip bias，# 选取边，# 使偏置方向指向中间

         Number of elements：[20]，Bias ratio：[10]，Apply，OK

         # 选取平行于全局Z轴的8条边，Done

         Method：By number，Bias：None，Number of elements [6]，OK

菜单：Mesh，Element Type，# 选取所有区域，Done

         Geometric Order：Quadratic # 所赋单元类型为C3D20R，OK

菜单：Mesh，Instance，Yes

viii. 求解

模块：Job

菜单：Job，Manager

         Create，Cont，OK，Submit，# 当完成后，Results

ix. 在单层板坐标系下可视化应力和应变。Abaqus默认显示单层板坐标系下的应力和应变。

模块：Visualization

菜单：Plot，Contours，On Deformed Shape

      工具条：Field Output，Primary，U，U1 # 全局坐标系

      工具条：Field Output，Primary，E，E11 # 单层板坐标系

      工具条：Field Output，Primary，S，S33 # 单层板坐标系

x. 在全局坐标系下可视化应力和应变。本方法可以在任意用户定义的坐标系下显示应力和应变。在本例中，有一个铺层的方向与全局坐标系相同，所以可以直接使用该坐标。

菜单：Result，Options

     标签页：Transformation，Transformation Type：User-specified

         # 选取：ASSEMBLY_PART-1-1_ORI-2，Apply，# 显示CS，OK

     工具条：Field Output，Primary，E，E11 # 全局坐标系

     工具条：Field Output，Primary，S，S33 # 全局坐标系

菜单：Results，Options

     标签页：Transformation，Transformation Type：Default，OK

xi. 创建路径，用于绘制0/90界面下侧的S33。

菜单：Tools，Path，Create

         Name [Path-1]，Type：Point List，Cont

         [20,0.0,1.24

         20,1.0,1.24

         20,2.0,1.24

         20,3.0,1.24

         20,4.0,1.24

         20,5.0,1.24

         20,6.0,1.24

         20,7.0,1.24

         20,8.0,1.24

         20,9.0,1.24

         20,9.5,1.24

         20,9.8,1.24

         20,9.9,1.24

         20,10.,1.24]

         # 在工作区显示创建的路径，OK

xii. 创建XY Data，后续将其可视化和/或保存到文件。

菜单：Tools，XY Data，Create

         Source：Path，Cont，Path：Path-1，Model shape：Undeformed

         X Values：True distance，Y Values：Field output：S，S33，OK

         Save As [path1-S33]，OK，Plot，# 在屏幕显示

         # 关闭XY Data对话框

xiii. 将路径上的结果保存到工作路径下的报告文件。

菜单：Report，XY

         # 选取path1-S33，标签页：Setup，File name [S33path1.rpt]，OK

xiv. 对界面上侧路径的结果可视化和报告操作。

         [20,0.0,1.26

         20,1.0,1.26

         20,2.0,1.26

         20,3.0,1.26

         20,4.0,1.26

         20,5.0,1.26

         20,6.0,1.26

         20,7.0,1.26

         20,8.0,1.26

         20,9.0,1.26

         20,9.5,1.26

         20,9.8,1.26

         20,9.9,1.26

         20,10.,1.26]

然后，将结果保存到文件[S33path2.rpt]。

上面定义的沿路径的应力值绘制到图5.6中。注意，在界面上下侧的应力结果实际上应该完全相同。

图5.6 在90/0界面上下侧的应力σ₃₃

5.2 相互影响系数

在经典层压板理论中，假设层压板分析的部分远离层压板的边。应力合力N和M施加到层压板的一部分，并在每个单层板中引起面内应力σ_x、σ_y、σ_xy。在层压板内部，仅在施加剪力时才会引起层间应力σ_xz、σ_yz。

对于单轴加载N_x，由泊松效应在每个单层板产生的横向应力必须能够抵消，因此产生的层压板力N_y为0。同样，在偏轴铺层（即纤维方向与加载方向成一定角度的铺层）上的的面内剪应力必须与其他铺层的剪应力抵消，因此产生的层压板剪力N_xy为0。靠近边处的情况更复杂，因为面内应力各分量在单层板截面不能相互抵消。暂时再回顾一下层压板工程特性概念。在材料轴上，面内应力柔度方程为

柔度系数可以写为工程特性参数的形式，如下

对于偏轴单层板（关于局轴向的意角方向），则有

此处可以看出，单轴载荷（σ_y = σ_xy = 0）产生剪应变，作为拉-剪耦合的结果

式中，

现在，的系数可以用偏轴单层板的工程特性参数定义如下

或者，可以定义另外两个相互影响系数表示由剪切引起的拉伸。

上式中两个系数可以通过施加剪应力并测量产生的轴向应变而得到。

5.2.1 由相互影响引起的层间应力

偏轴单层板在受到轴向载荷时，会产生面内剪应力，因为将要发生在分离的单层板上的自然剪切变形（图5.7）受到其他单层板的约束。贯穿层压板整个厚度，这些剪应力可以抵消；但是穿过非对称子层压板（例如，图5.7中顶层单层板），合起来为净剪力。

图5.7 由相互影响引起的变形³

³ 重绘C. T. Herakovich的《Mechanics of Fibrous Composites》中的图8.14，版权（1998），得到了John Wiley & Sons, Inc.的许可。

面内剪力只能由子层压板底面的层间应力σ_zx平衡（图5.8）。那么，沿x轴向力的和为一个净力，如下

图5.8 用于计算由相互影响引起的力F_xz的子层压板的自由体

再次说明，使用经典层压板理论（CLT）[1，第6章]计算得到的面内剪力可以用于计算单位长度的层间力F_xz。对于面内加载，经典层压板理论得到的每个单层板内的剪应力为常量。当评估一个界面（位于z = z_k）上的层间力时，上面的积分简化为

力F_xz以及相互影响系数的值可以用于定性地选择层间应力最小的铺层顺序。层间应力的真实值可以用数值分析得到。然而，当y → b时，σ_z → ∞。这是一个奇异点，有限元分析不能处理好。因此，即使对于y < b，结果对网格细化的依赖程度很高。另外，因为σ_z → ∞，如果没有进一步考虑，结果不能用于失效准则。对于一个[±45]_S层压板的σ_xz的数值近似解在图5.10中绘出，横坐标为距离y’ = y/b，y为到中心线的距离。（原文from the free edge，应该为center line）

图5.9 由相互影响引起的层间剪力F_xz

图5.10 碳/环氧[±45]_S层压板中面以上的界面处层间剪应力σ_xz（FEA）

例5.3 计算[30₂/-30₂]_S均衡对称层压板（图5.1）在力N_x = 175kN/m作用下所有界面的力F_xz。材料特性在例5.1中给出。单层板厚度为t_k = 0.127mm。

解5.3 贯穿层压板厚度的面内剪应力σ_xy可以用例5.1中计算σ_y的过程得到。

对于受面内载荷的均衡对称层压板，使用式5.19。对于一般载荷作用下的一般层压板，使用式5.18或对每个单层板取平均σ_xy并使用式5.19近似估计F_xz。

结果使用电子表格得到，并在表5.2和图5.9中给出。

表5.2 由相互影响引起的层间力F_xz

例5.4 绘制[±45]_S层压板中面以上的界面的σ_xz。使用例5.2的材料特性、几何和载荷。

解5.4 因为层压板铺层顺序是对称的，对层压板的一半（z > 0）建模是可行的。然而，例5.2则不能使用对称条件，因为材料（例如，30°单层板）关于x-z和y-z平面不对称（见图5.8）。在x=0处，y-z平面不是对称面，而是ε_x = 0的平面。同样，在x=0和x=L’处的模型两端的边界效应很重要，所以必须绘制x=L’/2处的结果，以避免加载端自由边效应。结果在图5.10中给出。

i. 设置工作路径

菜单：File，Set Work Directory，[C:\SIMULIA\user\Ex_5.4]

菜单：File，Save As，[C:\SIMULIA\user\Ex_5.4\Ex_5.4.cae]

ii. 创建部件

模块：Part

菜单：Part，Create

         3D，Deformable，Solid，Extrusion，Approx size [100]，Cont

菜单：Add，Line，Rectangle，[0,0]，[80,20]，X，Done，Depth [2.5]，OK

         # 需要将实体分割为2层

菜单：Tools，Datum，Plane，

         Offset from principal plane，XY Plane，[1.25]

         X，# 关闭对话框

菜单：Tools，Partition，Cell，Use datum plane

         # 选取平行于XY平面的平面，Create partition，Done

         # 关闭对话框

iii. 创建装配

模块：Assembly

菜单：Instance，Create，Independent，OK

iv. 定义材料、截面并给部件赋截面

模块：Property

菜单：Material，Create

         Mechanical，Elasticity，Elastic，Type：Engineering Constants

         [1.39E5  1.45E4  1.45E4  0.21  0.21  0.38  5.86E3  5.86E3  5.2536E3]，OK

菜单：Section，Create，Solid，Homogeneous，Cont，OK

菜单：Assign，Section，# 选取铺层3，Done，Section-1，OK

         # 选取铺层 4，Done，Section-1，OK，Done

         # 定义-45铺层材料方向（靠近中面）（原文丢掉“for” -45）

菜单：Assign，Material Orientation，# 选取铺层3，Done

         Use Default Orientation，Definition：Coordinate system

         Additional Rotation Direction：Axis 3

         Additional Rotation：Angle [-45]，OK

         # 定义 45铺层材料方向（上表面）

菜单：Assign，Material Orientation，#pick layer 4，Done，

         Use Default Orientation，Definition：Coordinate system

         Additional Rotation Direction：Axis 3

         Additional Rotation：Angle [45]，OK

         # 查看方向操作如下：

         # 在左侧模型树，

         # Models，Model-1，Parts，Part-1，Orientations

         # 可以看到只有2个 SYSTEM：<Global> 入口 ，每层一个

v. 定义分析步

模块：Step

菜单：Step，Create

         Procedure type：General，Static/General，Cont，OK

vi. 添加载荷和边界条件

模块：Load

菜单：BC，Manager

         Create，Name [DISP]，Step：Step-1，Disp/Rota，Cont

         # 选取x=80的面，Done，# 勾选：U1 [0.8]，OK

         # 可能需要转动模型以便选取面

         Create，Name [XEND]，Step：Initial，Rota/Disp，Cont

         # 选取x=0的面，Done，# 勾选：U1，OK

         Create，Name [ZSYMM]，Step：Initial，Symm/Anti/Enca，Cont

         # 选取z=0的面，Done，# 勾选：U3，OK

         # 关闭BC Manager对话框

vii. 对模型划分网格

模块：Mesh

菜单：Seed，Edges

         # 选取平行于全局Y轴的6条边，Done

         Method：By number，Bias：Double

         # 确保偏置指向线的两端

         Number of elements [20]，Bias ratio [10]，Apply，OK

         # 选取平行于全局X轴的6条边，Done

         Method：By number，Bias：Double

         Flip bias，# 所有线的偏置指向中心

         Number of elements：[20]，Bias ratio：[10]，Apply，OK

         # 选取平行于全局Z轴的8条边，Done

         Method：By number，Bias：None，Number of elements [6]，Apply，OK

菜单：Mesh，Element Type，# 选取所有区域，Done

         Geometric Order：Quadratic，# 所赋单元类型为C3D20R，OK

菜单：Mesh，Instance，Yes

viii. 求解和可视化结果

模块：Job

菜单：Job，Manager

         Create，Cont，OK，Submit，# 当完成后，Results

模块：Visualization

菜单：Plot，Contours，On Deformed Shape

         # 为绘制-45/ 45界面上侧的应力S13创建路径

菜单：Tools，Path，Create

         Name [Path-1]，Type：Point List，Cont

         [40, 0.0, 1.26

         40, 0.5, 1.26

         40, 1.0, 1.26

         40, 1.5, 1.26

         40, 2.0, 1.26

         40, 2.5, 1.26

         40, 3.0, 1.26

         40, 3.5, 1.26

         40, 4.0, 1.26

         40, 4.5, 1.26

         40, 5.0, 1.26

         40, 6.0, 1.26

         40, 7.0, 1.26

         40, 8.0, 1.26

         40, 9.0, 1.26

         40, 10.0, 1.26

         40, 11.0, 1.26

         40, 12.0, 1.26

         40, 13.0, 1.26

         40, 14.0, 1.26

         40, 15.0, 1.26

         40, 15.5, 1.26

         40, 16.0, 1.26

         40, 16.5, 1.26

         40, 17.0, 1.26

         40, 17.5, 1.26

         40, 18.0, 1.26

         40, 18.5, 1.26

         40, 19.0, 1.26

         40, 19.5, 1.26

         40, 20.0, 1.26]

         # 在工作区可视化路径，OK

菜单：Tools，XY Data，Create

         Source：Path，Cont，Path：Path-1，Model shape：Undeformed

         X Values：True distance，Y Values：Field output：S，S13

         Save As [S13plot]，OK，Plot，# 在屏幕上可视化结果

         # 关闭XY Data对话框

菜单：Report，XY

         # 选取S13plot，标签页：Setup，File name [S13plot.rpt]，OK

         # 文件S13plot.rpt一定已保存在工作路径下

沿路径的应力值在图5.11中绘出。

图5.11 -45/ 45界面上下的应力σ₁₃

练习题

问题5.1 写一个计算机程序，使用σ_y和σ_xy（位于每个单层板上下表面）的列表数据计算任意层数的层压板厚度方向所有位置的F_yz、F_xz和M_z。铺层为[±45/0/90]_S的层压板，单层板厚度为t = 0.125mm，对层压板施加N_x = 10kN/m的载荷，使用该程序绘制贯穿层压板厚度-4t < z < 4t的F_yz、F_xz和M_z。使用碳/环氧单层板材料特性E₁ = 139GPa，E₂ = 14.5GPa，G₁₂ = G₁₃ = 5.86GPa，G₂₃ = 5.25GPa，v₁₂ = v₁₃ = 0.21，v₂₃ = 0.38。提交一份报告，包含程序源代码。

问题5.2 将问题1中的载荷改为M_x = 1Nm/m，重新编程计算，并提交一份报告，包含程序源代码。

问题5.3 绘制[0/90/90/0]层压板中面以上第一个界面x = L/2处的σ_z/σ_x0和σ_yz/σ_x0与y/b（0 < y/b < 1）的关系曲线。单层板厚度t = 0.512mm，载荷为ε_x = 0.01。 根据施加的应变计算远场均布应力σ_x0。使用二阶实体单元和网格偏置（向自由边偏置比为10，原文0.1，必须大于1）建立1/8拉伸试样模型（见例5.2），层压板宽2b = 25.4mm，长2L = 20mm。使用碳/环氧单层板材料特性E₁ = 139GPa，E₂ = 14.5GPa，G₁₂ = G₁₃ = 5.86GPa，G₂₃ = 5.25GPa，v₁₂ = v₁₃ = 0.21，v₂₃ = 0.38。尽可能使靠近自由边处单元的长厚比接近于1。提交输入命令文件以得到结果和绘图。另外，提交绘图。

问题5.4 对于问题5.3中描述的层压板和载荷，绘制x = L/2且距离自由边0.1t_k处的中面以上的σ_z/σ_x0和σ_yz/σ_x0与z/t_k（0 < z/t_k < 2）的关系曲线。根据沿z向不同的单元数，提供4条曲线，研究网格细化的效果。尽可能使靠近自由边处单元的长厚比接近于1。提交输入命令文件以得到结果和绘图。另外，提交绘图。

问题5.5 与问题5.3类似，绘制[±10₂]_S层压板中面以上所有界面的σ_xz/σ_x0与y/b（0 < y/b < 1）的关系曲线。

问题5.6 与问题5.4类似，绘制[±10₂]_S层压板的σ_xz/σ_x0与z/t_k（0 < z/t_k < 2）的关系曲线。

问题5.7 使用实体单元和偏置网格建立拉伸试样的1/8模型（见例5.2），层压板宽2b = 24mm，长2L = 20mm，铺层为[±45/0/90]_S，单层板厚度为t = 0.125mm，施加的载荷为N_x = 175kN/m。使用碳/环氧单层板材料特性E₁ = 139GPa，E₂ = 14.5GPa，G₁₂ = G₁₃ = 5.86GPa，G₂₃ = 5.25GPa，v₁₂ = v₁₃ = 0.21，v₂₃ = 0.38。绘制每个单层板中面上的3个层间应力分量从中心线向自由边的变化的曲线（原文从自由边向中心线）。将4个铺层同一应力的4条曲线绘制在一个图中。提交输入命令文件以得到结果和3个绘图。另外，提交3个绘图。

问题5.8 对于角度为θ的单向单层板，在一个图中绘制E_x/E₂、G_xy/G₁₂、10v_xy、-η_{xy, x}、-η_{x, xy}与θ（-π/2 < θ < π/2）的关系曲线。材料为S-玻璃/环氧[1，表1.3-1.4]。

问题5.9 根据问题5.8中的曲线，考虑[θ₁/θ₂]_S层压板，在以下两种情况下，值θ₁和θ₂的最坏组合是什么？(a) 泊松不协调，(b) 剪切不协调。

问题5.10 在一个图中对比E-玻璃/环氧、凯芙拉49/环氧和T800/3900-2单向板的-η_{xy, x}，对比范围为（-π/2 < θ < π/2）。

问题5.11 分别绘制[±45]_S层压板上表面的3个变形u_x、u_y、u_z的云图。使用问题5.7中的尺寸、载荷和材料特性。解释你的发现。

问题5.12 对[0/90]_S层压板重复问题5.11的操作。解释你的发现。

问题5.13 使用实体单元和网格偏置对拉伸试样的1/4建模（图5.1），试样总宽度2b = 12mm，长2L = 24mm。在同一个图中对比纤维体积比为50%的SCS-6/铝合金单层板在[±15/±45]_S和[±(15/45)]_S两种铺层时的σ_z与z/H的关系。使用微观力学（式6.8）预测单向复合材料特性。单层板的厚度为t_k = 0.25mm。层压板受到的载荷为ε_x = 0.01。

问题5.14 使用与问题5.13相似的有限元模型，对于在ε_x = 0.01载荷作用下的SCS-6/铝合金[±θ]_S层压板，绘制σ_xz/σ_xz-max(原文σ_zx-max)与θ（0 < θ < π/2）的关系曲线。

问题5.15 使用问题5.13的有限元模型，绘制[±15/±45]_S层压板中面的σ_z与y/b（0 < y < 0.95b）的关系曲线。注意，靠近y = b处，σ_z → ∞，因此，由有限元分析得到的y = b处的实际值与网格有关。使用不同的网格密度，将结果列表研究y = 0.95b处应力值对网格的依赖性。

问题5.16 使用与问题5.13相似的有限元模型，SCS-6/铝合金[±θ]_S层压板受到1%轴向应变（ε_x = 0.01），绘制σ_x、σ_xy、σ_xz与y/b（0 < y < 0.95b）的关系曲线。

问题5.17 图5.1中所示的[0/90]_S层压板，材料特性为E₁ = 139GPa，E₂ = 14.5GPa，G₁₂ = G₁₃ = 5.86GPa，G₂₃ = 5.25GPa，v₁₂ = v₁₃ = 0.21，v₂₃ = 0.38。单层板的强度为F_1t = 1550MPa，F_1c = 1090MPa，F_2t = F_2c = 59MPa，F₆ = 75MPa。试样宽2b = 20mm，长2L = 200mm，每个单层板后t_k = 1.25mm。通过施加均布位移载荷，给试样施加均布应变ε_x = 0.01。使用对称，仅对x > 0、y > 0、z > 0象限内的层压板建模。对每个单层板使用正交各向异性实体单元，厚度方向至少2个二阶单元。使用实体单元的UMAT子程序计算3D蔡-吴失效指数I_F。在每个单层板输出I_F云图（不要使用结果平均值）。将所有工作写为一份报告。