楔形体及其变形体的受力分析

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来源：力学酒吧（ID：Mechanics-Bar），作者：张伟伟。

人们关注楔形体主要是为了解决齿轮、坝体中的受力分析，许多力学家对此进行了研究。较为著名的包括法国水利学家和数学家Joseph Valentin Boussinesq（1842-1929，译为布西內斯克，圣维南的学生）, 法国工程师Alfred-Aimé Flamant (1839-1915，译为符拉芒，圣维南的学生)，法国工程师Maurice Lévy（1838-1910，译为莱维，圣维南的学生），澳大利亚数学力学家John Henry Michell（1863-1940，译为米切尔，毕业于英国剑桥），英国工程师Charles Edward Inglis (1875-1952，译为英格里斯，毕业于剑桥）等人。他们的工作主要在于给出了恰当的应力函数，并得到各自问题的解，这里我们不按他们工作的先后顺序，按照从一般问题到特殊问题的顺序介绍楔形体及其变形体的受力分析。

如图1所示，设有一楔形体中心角为α，下端无限长（不用考虑下端边界条件）不计体力，在楔顶受“集中力”F 作用，其方向与中心线成β 角。特别注意，由于我们将该问题简化为平面问题，F 并不是真实意义上的集中力，而是单位长度上的力。可以想象有一宽为l 的坝体，F 实际为坝顶集中力除以长度后的量，其单位为N/m，Fl 的单位才是N。

19世纪20年代，麦克斯韦 (JamesClerk Maxwell, 1831-1879) 提出了一种有关各种物理单位的关系，他将质量、长度和时间作为三个基本单位，将其他单位称为派生单位，认为它们都可以由三个基本单位表出，这为现代量纲分析起到了奠基性作用。这里，我们将采用量纲分析法来确定适用于Flamant问题的应力函数。

所谓的量纲是与力学量的单位相关，但又不同于单位的概念，例如质量的单位可以是千克、吨等，抛开具体单位,称它们的量纲为质量，用M 表示；长度的单位包括厘米、米、公里等，也抛开具体单位，称它们的量纲为长度，用L 表示；同理，称时间的量纲为时间，用T 表示。对于派生单位，例如加速度，国际单位制为m/s²，为一个长度量纲除以时间量纲的平方，用符号表示即为LT^-²。再来分析力的量纲，力的国际单位为kgm/s²，为质量量纲乘以加速度量纲，用符号表示即为MLT^-²。

再具体到图1所示的楔形体，任何物体的受力都由其所受的载荷、约束以及其几何形状决定，由此可知，楔形体中的应力分布必然由载荷F、β、α 以及坐标 (ρ, φ) 决定。做以下分析

可见，应力分量的量纲可以由F的量纲除以ρ 的量纲得到，即σ∝F/ρ，再考虑到应力与应力函数之间的关系

应力函数Φ 会比应力σ 关于ρ 再升高2次幂，由于应力分量中含有ρ^-1，那可猜测应力函数Φ 中应该含有ρ，再考虑应力函数Φ 与极角φ 有关，设应力函数满足Φ=ρf(φ)。将其代入相容方程，确定f(φ)，有

其中，A、B、C、D 为积分常数。将其代入应力函数中，得

注意到前两项ρcosφ 和ρsinφ 在直角坐标系中分别为x 和y，应力函数中一次项不影响应力分布，可以删除，因此，应力函数可写为

将其代入应力分量的表达式，有

现在写出边界条件，确定常数D 和C。在两个侧面上，有

可见，侧面上的边界条件自然满足，求不出D 和C。为了考虑边界条件F 的作用，我们在楔顶取出一小部分，如图2所示的Oab，其中ab 是假想楔顶与底部的分界面，其上应力分量按照应力的正方向画出，考虑其平衡条件。

考察x 方向平衡：

考察y 方向平衡：

上述解是圣维南的学生Flamant（符拉芒）给出。在这个问题上，澳大利亚的米切尔 (Michell) 给出了极坐标下的通用应力函数，并讨论了只有竖向载荷下的解（1900年左右）。此外，同为圣维南学生的布西内斯克 (Boussinesq) (1892年) 也研究过这一问题，但他们所使用的应力函数并不相同。