Amesim背后的支撑理论—键合图的基本思想和构成要素
功率键合图（简称“键合图”，Bond Graph）理论是Amesim背后的重要理论支撑。老实讲，不了解键合图理论，通常并不影响Amesim软件的正常使用；但学习键合图理论，有助于我们理解Amesim建模仿真过程中子模型外部变量、元件连接、功率和能量分析等一系列问题的深层逻辑。这篇文章将介绍功率键合图的理论基础，希望对大家有帮助。
二自由度弹簧-阻尼-质量块的Amesim模型及键合图模型
复杂机电液系统往往集成了机械、电子、液压及控制等多种学科领域，实现其一体化建模仿真的关键在于找到不同学科领域的相似和共通之处。通过分析不难发现，尽管不同学科描述不同的物理领域、具有不同的物理量纲，但功率和能量的物理量纲及其流动转化规律是一致的，不同领域中与功率和能量相关的诸多变量也遵循相同的数学方程，具有相似性，而这正是键合图理论产生的根基。
功率键合图，顾名思义，是一种基于功率流物理过程的图形化建模方法，它依据能量守恒的基本原则，由一些基本元件以特定的连结方式用规定的符号来表示，可以准确、清晰地表达出系统模型中要考虑的物理效应，便于统一处理涉及机、电、液等多学科领域、多种能量范畴工程系统的动态特性分析。
根据相似性原理，键合图理论将机、电、液等系统中与功率和能量相关的多物理变量统一归纳为四种广义变量。在具体的图形表示上，键合图采用键表示键合图元间的功率或信号传递、采用九种基本键合图元描述复杂的多领域物理系统特性、采用因果划表示系统变量传递的因果关系。下文将从以上方面出发，阐述键合图的基本思想和构成要素等理论基础。键合图理论所涉及的四种广义变量是根据相似性原理从不同物理领域中归纳出的四类相似量，它们分别是势变量（effort）e(t)、流变量（flux）f(t)、广义动量（momentum）p(t)和广义位移（displacement）q(t)。
其中，势变量e(t)和流变量f(t)的标量积为功率P(t)，即
广义动量p(t)和广义位移q(t)分别定义为势变量e(t)和流变量f(t)对时间的积分，即
若将势变量写成广义位移的函数e(q)，将流变量写成广义动量的函数f(p)，则能量可表达为
下表列出了机、电、液系统中对应的四种广义变量。通过这种方式，键合图理论可以在一定程度上实现对机、电、液等不同领域系统理论的大一统。
在键合图中，基本键合图元之间用直线或折线相互连接，称为键，包括功率键和信号键两种。
功率键表示两个键合图元通口之间存在能量交换，功率键上功率流的正方向用半箭头表示。每一根功率键均对应一对势变量和流变量，势变量通常写在功率键的上方或左方，流变量通常写在功率键的下方或右方。
信号键不传送功率，只传递信号，并采用全箭头表示信号传递的方向。
『注：功率键在键合图中扮演重要角色，细心的小伙伴会发现，Amesim软件图标中有两条白色的半箭头，正是功率键的形状。』
阻性、容性和惯性是系统元件普遍存在的三种固有属性。
其中，阻性是指势变量e(t)和流变量f(t)之间存在某种函数关系的特性，是阻碍流、消耗能量的特性，在键合图中用阻性元件R表示，其特性方程是：
容性（又称弹性）是指元件的势变量e(t)和广义位移q(t)之间存在某种函数关系的特性，是储存/释放与势相关的能量的特性，在键合图中用容性元件C表示，其特性方程是：
惯性（又称感性或惰性）是指元件的流变量f(t)和广义动量p(t)之间存在某种函数关系的特性，是储存/释放与流相关的能量的特性，在键合图中用惯性元件I表示，其特性方程是：
上述式子中，R0、C0、和I0分别表示线性阻抗、线性容度和线性惯量，此时元件为线性元件；φR、φC和φI分别表示某一非线性函数，此时元件为非线性元件，相应的阻抗、容度或惯量随势或流的改变而改变。
例如，机械系统中的阻尼器、液压系统中的阻尼孔、电路中的电阻等都可表示为阻性元件，机械系统中的弹簧、液压系统中的蓄能器、电路中的电容等都可表示为容性元件，机械系统中的质量块、电路中的电感等都可表示为惯性元件。
势源Se和流源Sf用来描述环境对系统的作用，前者对系统施加势的作用，后者对系统施加流的作用，它们具有以下特点：
势源的势变量和流源的流变量仅由它们自身决定，与它们作用的系统无关；
势源的流变量和流源的势变量决定于它们所作用的系统；
当势源或流源的势变量和流变量乘积为正时，它们对系统做正功，向系统输送能量；反之，则对系统做负功，向系统索取能量。
在Amesim中，力源、压力源、电压源等均为势源，速度源、流量源、电流源等均为流源。
变换器TF用来描述系统能量传输过程中势变量对势变量、流变量对流变量之间的变换关系，其特性方程是：
回转器GY用来描述系统能量传输过程中势变量与流变量之间的变换关系，其特性方程是：
上述式子中，参数m和r分别称为变换器和回转器的模数，它们可以是常数，也可以是某变量的函数。
例如，机械系统中的减速器、液压系统中的液压泵和液压缸、电力系统中的变压器等都可表示为变换器，激磁恒定的直流电机可用回转器表示。
共势结用来联系系统有关物理效应中能量形式相同、数值相等的势变量，在键合图中用数字0表示，因此又被称为0-结，其特性方程是：
共流结用来联系系统有关物理效应中能量形式相同、数值相等的流变量，在键合图中用数字1表示，因此又被称为1-结。其特性方程是：
上述两式中，n表示结的通口数，αi是功率流向系数，对于半箭头指向结的键，αi=1，半箭头背离结的键，αi=-1。
例如，液压系统中直径大而长度短的管道、电路中的并联电路等都可用共势结表示，机械系统中的连接件、电路中的串联电路等都可用共流结表示。
以上就是键合图中包含的九种基本键合图元。从场论角度出发，这九种键合图元可以构成下图所示的广义系统模型：系统组件分为储能场（包括容性元C和惯性元I）和耗能场（阻性元R），源场（包括势源Se和流源Sf）作为环境因素作用于系统，储能场、耗能场和源场通过系统物理拓扑结构（包括0-结、1-结、变换器TF和回转器GY）相互耦合，从而实现能量的传输与转化。
从信号流向的角度看，功率键上的势变量和流变量是一对方向相反的信号，其输入、输出关系称为因果关系。换言之，因果关系表明了键合图元通口的势变量和流变量由谁计算谁的问题。
在键合图中，因果关系是用画在键一端、并且与键垂直的短划线来表示，称为因果划。如下图所示，A、B两子系统之间存在功率流动，因果划标在A的通口处，则表明对于A，势变量为输入、流变量为输出（即势是因、流是果）；反之，对于B，流变量为输入、势变量为输出（即流是因、势是果）。
因果关系是键合图法特有的重要属性之一，对基本键合图元指定因果关系，有以下方面：
势源和流源具有固定的因果关系，即势源输入流输出势，流源输入势输出流；
容性元件和惯性元件应优先考虑积分因果关系，即容性元件应优先考虑输入流输出势，而惯性元件应优先考虑输入势输出流；
阻性元件的因果关系可任意指定，但要和其他键合图元的因果关系协调；
变换器和回转器都只有两种可能的因果关系，其中，变换器必须满足同向因果关系约束，而回转器必须满足异向因果关系约束；
共势结只能有一个势输入流输出通口，而共流结只能有一个流输入势输出端通口。
以上就是本文的全部内容。限于篇幅，本文只从四种广义变量、功率键和信号键、九种基本键合图元、因果关系和因果划等方面介绍了键合图理论的基本思想和构成要素。大家如果对键合图理论感兴趣，推荐学习本文的参考资料（见文末），都是学习键合图理论非常好的参考材料。
参考资料：
[1] 王中双. 键合图理论及其在系统动力学中的应用[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工程大学出版社, 2014.[2] 田树军, 胡全义, 张宏. 液压系统动态特性数字仿真(第二版)[M]. 大连: 大连理工大学出版社, 2012.[3] 胡全义. 基于键合图的多领域统一建模与仿真技术研究[D]. 大连: 大连理工大学，2017.[4] https://blogs.sw.siemens.com/simcenter/simcenter-amesim-celebrating-25-years-of-innovation/[5] https://community.sw.siemens.com/s/article/the-basics-of-the-bond-graph-theory
