只见黄沙不见天：沙尘飞扬的力学分析
来源：图形公式不烦恼微信公众号（ID：ArtByMathematica），作者：陈建。
3月15日清晨，中国北京已出现明显沙尘天气，大部分地区能见度小于1000米，空气质量处于最高一级严重污染，指数达到500。北京环境监测官微发布，据沙尘遥感图显示，此次沙尘源起于蒙古国南部。
目前，遭遇沙尘天气的北京，大部分地区的能见度小于1000米。接下来，我们从力学角度聊一聊沙尘飞扬的现象。
唐朝诗人杜甫在其名篇《兵车行》中以“车磷磷，马萧萧，行人弓箭各在腰。耶娘妻子走相送，尘埃不见咸阳桥。”描述了一幅灰尘弥漫、车马人流、令人目眩的战前送别图。其实，灰尘漫天飞舞的现象我们司空见惯，从日常生活中的尘土飞扬到自然现象中“朔风怒号、黄尘万丈”的“沙尘暴”都与沙尘的运动相关。
当物体在粘滞性流体中运动时，物体将受到流体的阻力作用，在相对运动速率不大时，这种阻力主要来自于流体的粘滞力，并称为粘滞阻力。由于在流体中物体表面附着有一层流体，这层流体随物体一起运动，在物体表面周围的流体中必然形成一定的速度梯度，从而在各流层之间产生内摩擦力，阻碍物体的相对运动。英国力学家、数学家斯托克斯 (George Gabriel Stokes1819-1903) 于1851年提出球形物体在粘性流体中作较慢运动时，受到的粘滞阻力F 的大小由下式决定
式中，η 为流体的粘滞系数，它与流体性质和温度有关；r 为球体的半径；v 为球体相对于流体的速度。（说明：此表达式只对球体相对于流体的速度较小时近似成立。）
如果让质量为m、半径为r 的小球在静止粘滞流体中受重力作用竖直下落，它将受到如图所示三个力的作用：重力mg、流体浮力f、粘滞阻力F，这三个力作用在同一直线上。起初，小球速度小，重力大于其余两个力的合力，小球向下作加速运动；随着速率的增加，粘滞阻力也相应增大，合力相应减小。当小球速率增大到一定数值时（极限速率），小球作等速运动，此时作用于小球上的重力与浮力和粘滞力相平衡。如果流体密度为ρ，小球密度为ρ'，小球速率为v，则有下面的关系
由此可求得小球下落的极限速率为：
若流体为空气，它在标准状况下，η 粘性系数=1.80×10-5Pa·s，假设小球（沙尘）的密度为2.0×10³kg/m³（远大于空气密度1.293kg/m³），重力加速度为9.8m/s²。代入上式可得：
当小球的半径为1×10-7m（100纳米）时，小球下落的极限速率为2.4×10-6m/s；小球的半径为1×10-4m（100微米），小球下落的极限速率为2.4m/s；而当小球的半径为1×10-3m（1毫米）时，小球下落的极限速率为2.4×10²m/s。可见，小球下落的极限速率与其半径的平方成正比，半径越大，下落的极限速率就越大。
从上面讨论还可看出，极限速率与小球密度有关，密度大相应的极限速率也越大，这实际上就是为什么粉尘较沙粒易于被扬起的原因。
现在，在上述分析的基础上讨论地面上沙尘是怎样被扬起成为风沙的。
由于沙尘在风力作用下运动时，颗粒的浓度较稀，且颗粒所受约束较少。所以，可忽略颗粒与颗粒之间的相互作用，可以用单颗粒的运动模型来描述沙尘颗粒的有关运动特性，即将沙尘颗粒视为“小球”。上面讨论了物体在静止流体中运动时的阻力，而风沙的形成则必须考虑当流体（空气）处于流动状态时的情形。因此，上面计算得到的极限速率应理解为沙尘相对于流动空气的极限速率，沙尘相对空气的速率只能小于或等于极限速率，即使给沙尘一个大于极限速率的初速度，在阻力作用下沙尘的速度将迅速减小为极限速率v。
如果空气的流动是水平的，当沙尘与空气的相对速度不是零时，小球就要受到与相对速度方向相反的“阻力”，这时小球就要沿空气流动方向加速，经过一定时间t（加速时间）和一定距离L（加速长度）后，颗粒的水平速度和空气的水平速度一样，运动趋于稳定，沙尘就随风飘扬。如果空气流动具有上升的速度v'，当v' 大于极限速率v 时，地表附近沙尘将被掀起，加速上升，最终达到v'-v 的速度。当然，这一讨论还限于已处在空气中的尘埃如何随风飞扬。对于一粒落在地面上的沙粒，它随风飞扬可理解为：当有风贴着地面刮时，一般来说空气在沙粒的上表面流速大，从流体力学的伯努利定律可知尘埃受到一个向上的力，一旦这个力超过它的重力和地面对其吸附力，尘埃就可能被吹向空中了。
前面分析已知，对于粒径不同的沙尘，极限速率v 差异很大。对粒径很小的尘埃，v 也很小，易被加速，空气的任何轻微流动，上升气流的速度分量都可以超过它的极限速率，导致其随风起动，甚至人在屋里走动所带动的空气扰动，也会使它飞扬起来。这就是“为什么风一刮，总是有一批细小的尘埃随风起舞，飞扬起来”的原因。而且，这样的尘埃一旦处于空中，靠其自然降落到地面需要相当长的时间。
2001年9月美国的世贸大厦双子楼被恐怖分子劫机撞毁后，过了半个月，在纽约的上空还弥漫着灰尘”就是一个很好的例证。对粒径较大的沙粒，则不容易被风加速，颗粒很难随风起动。这表明沙尘是否起动，风速的大小是一个主要因素，而且风速越大，沙粒随风起动的可能性就越大。沙尘物理学中，把干燥沙尘临界起动风速定义为起沙风速。
在我国，根据主要沙区的观测和统计分析，起沙风速被确定为5m/s。气象中把浮尘、扬沙与沙尘暴统称沙尘天气。浮尘天气是由于高空中的风力较大，从其他地方携带来颗粒较细小的细沙、粉尘等物质所形成，相当于大气中尘埃的影响，其能见度通常大于10km；扬沙与沙尘暴都是由于本地或附近尘沙被风吹起而造成的，特点是天空混浊，能见度明显下降，沙尘暴天气能见度甚至小于1km。
由于极限速率与颗粒大小密切相关，风小，飞起来的尘埃颗粒就小；而风大时，除了小颗粒尘埃飞起外，还有颗粒大的尘埃飞起。一次“沙尘暴”会有成千吨的沙尘被吹到天空，真可谓“狂风肆虐、飞沙走石”。
当然，沙尘天气的形成是一个多因素问题，它不仅仅依赖于风速，还与风向、离地高度、地质地貌、沙尘含水量等许多因素相关。本文只是对沙尘飞扬的机理作了粗浅探讨。改善生态环境、防风固沙、遏制沙尘颗粒被风蚀起动，才是减少沙尘天气、防治沙尘暴的关键。
参考文献：
刘克哲.物理学. 背景：高等教育出版社，1993.
