有限元基础知识：关于接触的事
接触分析在众多有限元分析中是一个比较特殊的领域，大部分有限元算法（教科书上那些）研究连续体内部的应力应变、整体变形等。而接触分析则是研究两个或多个物体（自接触另说）之间的作用关系。另外呢大部分有限元的书，商业软件的理论文档都对接触这里描述的不多。我呢有幸在计算接触力学领域耕耘多年，打算今天先做一个引子，引出未来一步步给大家说的接触分析相关内容。
接触搜索
接触首先的第一步是要分析两个物体哪里发生接触，这个在显式分析和隐式分析中会有些不同，集中体现在：
显式中，已经穿透的就是发生接触的区域 隐式中，可能在这步中发生穿透的要检测出来，用于之后的计算
但是两者都离不开一个核心诉求，那就是接触搜索（找到发生接触或者潜在发生接触的区域），这个过程呢与其说是个有限元的过程，其实更接近于图形学也就是CG的那些知识。最简单但却不可用的方法，就是穷举，将主面m个单元和从面n个单元所有单元都建立一个接触单元用于后续分析，那么算下来程序内部就会有 个接触单元对，耗时耗力，根本不可行。所以为了解决这样的问题，我们就要引出一些技术以快速的进行接触搜索，常见的有：
bucket sorting BVH （boundary volume hierarchy）：通常就是指大家常说的八叉树、k-d tree、binary tree 等 Postion code：给每个单元附上一个code，然后通过code去查询单元附近的单元，只在这个范围内搜索
总之呢要么就是对空间进行划分，要么就是对单元去进行排序，然后一个原则就是，两个接触面中 个接触单元对中大部分真实情况下是绝对不可能接触的，接触检测的时候也没必要去搜索他们，提高效率与降低存储空间。
接触有限元计算
当搜索完了可能的接触对之后，我们进行局部的一些投影、分割等，进行真正的接触有限元计算部分，也就是说形成一些刚度矩阵、载荷向量，这个过程中，我们主要会有两类方法的区别：
点对面 面对面
这里的两种方法指的是接触的离散方法，并不是说点对面只能用于点和面的接触，其实在用户层面都可以选择两个面进行接触。之前写过这个的文章，可以看：
当选定了这两种方法中的任何一种后，我们都会面临一个问题，那就是如何施加如下的接触约束：
由于接触问题之于有限元麻烦的就在于，传统有限元本质上是一个优化问题（求能量最小），而接触分析则是一个约束优化问题（在接触约束的情况下，求能量最小），那么我们就要引入一些方法来实现上述的接触约束，总体上有：
罚函数法（penalty） 拉格朗日乘子法（LM） 增广拉格朗日乘子法（Augmented LM） 内点法以及其他约束优化的方法其实都可以用
事情还没结束
OK，至此如果你正确、且高效的完成了接触搜索、使用某种离散方式构建了接触的关系，通过某种约束方法写出了其刚度矩阵和载荷向量的贡献，那么理论上你是可以求解一个接触问题的。然而事实往往事与愿违（大部分论文绝对不会说这部分，只有鲜花），我们往往会遇到算法稍微算个复杂点的问题就不收敛、算出来的应力、接触力、支座反力上蹿下跳一点不平稳、过盈配合根本算不了等等问题。当然这些问题都有答案，但涉及很多细节的打磨，比如：
针对点对面算法，应力、接触力上窜下跳就可以换面对面算法，还是一股脑的选择点对面呢，就可以用光顺化（Smoothing）技术以去除由于有限元离散造成一些影响，甚至可以采用基于IGA，NURBS的边界描述进行接触分析 针对有些高阶单元，并不适合用在接触分析中，提出适合接触分析的高阶单元算法 面对面Mortar法实现起来比较麻烦，很多人又提出了各种变形，而对mortar法中各种离散格式也有各种变形 为了提高收敛性对penalty系数的自动选择、对分析步步长进行更为细节的自动控制 引入多种摩擦本构模型，来更容易更准确的模拟真实情况 对于自接触分析增加诸多判断、更快更正确的进行几何搜索 对过盈配合施加渐进式过盈配合与自定义曲线等 ......
