《Mechanics of Solid Polymers》5.3.3 纯剪切与平面拉伸的相似性

5.3.3 纯剪切与平面拉伸的相似性

现考虑不可压缩平面应变拉伸的变形梯度:

其中α与公式(5.59)中的位移值相同。在此变形梯度下,2方向发生拉伸,而1方向无应变。如果我们将这个变形状态绕1方向旋转45°,则旋转矩阵为:

旋转后的变形梯度变为:

对于小应变,此方程可简化为:

其中Δ是一个很小的值，用于保证不可压缩性。O(α^3)是大O记号，表示该项的阶为α^3。如果α≪1，则α^2及更高阶项可忽略，得到：

这与纯剪切的变形梯度相同。这表明对不可压缩材料，在小应变下纯剪切和平面拉伸行为是一致的。

        随着变形的增加，纯剪切和平面拉伸的差异会变大。图5.5展示了理想化不可压缩加载情况下，真实应力随变形α的变化。图中σ23表示纯剪切应力，σ22表示平面拉伸应力。应力计算采用剪切模量为1MPa的Neo-Hookean(NH)材料模型。图表明，当变形α>0.5时，两种变形模式开始出现明显差异。

图5.5 纯剪切和对应平面拉伸在不同应用变形下的预测应力比较