POF：浮力气泡捕获疏水性颗粒的数值模拟研究
摘要
当一个浮力气泡在疏水性颗粒悬浮液中上升时，与气泡碰撞的颗粒通常会附着在气泡上，从而随气泡一同向上运动。在此，我们运用完全解析的数值模拟方法，研究在含有颗粒悬浮液的区域内，单个气泡的捕获速率。对气泡进行足够长时间的跟踪，以收集多个颗粒，我们探究了在适中的气泡雷诺数下，控制参数对颗粒积累速率的影响。结果表明，捕获速率对体积分数的依赖程度最强，随着气泡上积累的颗粒阻碍其他颗粒的附着，颗粒的捕获速率会迅速下降。随着气泡的可变形性增强，捕获效率略有降低，这是因为气泡底部的颗粒会使气泡拉长，减小其横截面积；而捕获效率会随着颗粒尺寸的增大而提高。对于此处模拟的参数范围而言，其他参数的影响较小。
1、引言
1、引言
2、数值方法
2、数值方法
三相不可压缩流动由N-S方程和连续性方程控制。
在这里，是速度，是密度，是压力，是重力加速度。气泡和液体中的应力为 ，其中是粘度，是表面张力项。是是一个施加的罚力项，用于保持固相的刚性，并且取值为：
满足固体颗粒运动方程 
。这里， 
是颗粒质心速度， 
是角速度，r是距颗粒质心的距离。为了识别不同的相并指定它们的属性，我们使用两组指示函数， 
用于识别气相， 
用于识别固体颗粒相，
其中
，是固体颗粒的指示函数。使用指示函数的平方
能实现更快的收敛（Lu等人，2023）。此处采用的策略与常用于固体颗粒模拟的浸入边界法类似（Uhlmann，2005），但标准浸入边界法通常处理单相纳维 - 斯托克斯方程，而我们在此使用双流体版本。因此，对固体颗粒的处理与对气泡的处理非常相似，这遵循了Yabe等人（2001）提出的思路。这里使用的代码基于一个内部代码，该内部代码用于大量气泡流模拟（例如，近期应用可参考Lu和Tryggvason，2019；Liu等人，2023），以及一个为模拟固体颗粒而开发的代码，如Lu等人（2023）所述。
当气泡与疏水性颗粒碰撞时，我们假设气泡与固体颗粒之间的液膜瞬间排干，使得气泡能够立即捕获颗粒。目前，如果代表气泡界面的一个前沿单元与固体表面相互靠近且它们的相对切向速度较小时，我们通过将该前沿单元移动到固体表面，来使固体附着到气泡上。在实际情况中，附着过程更为复杂，因为气泡与固体之间的液膜排干需要时间，这可能取决于气泡和固体的表面条件。尽管这将涉及额外的代码开发，但可以添加更复杂的模型来描述这些复杂情况。接触线基于广义纳维边界条件（GNBC）模型移动。接触线的滑移速度由粘性应力和不平衡的杨氏应力决定，由以下方程给出：
在此，
，其中
是液相和气相的平均黏度，k是滑移长度。不平衡的杨氏应力是作用在三相点处的表面力的结果，而黏性应力可以忽略不计，因为它远小于杨氏应力（Yamamoto 等人，2013 年）。因此，滑移速度可写为
。如果我们用 
来近似狄拉克函数（其中h是网格间距），那么 
，由此可以计算出k。一般来说，滑移长度是未知的，在这里我们根据经验选择一个 
的值，使得颗粒能平稳地部分嵌入气泡。如后文所示，结果对 的具体取值并不敏感。在附录中，我们展示了当固体颗粒附着在气泡上时，经过较长时间后静态接触角会恢复，关于该实现方法的其他测试，可参考 Zeng 等人（2024）的研究。此前已有几篇论文使用前沿追踪法，将广义纳维边界条件（GNBC）用于静止表面的模拟，包括 Yamamoto 等人（2013、2014、2016），Shin 等人（2018），以及 Shang 等人（2018、2019）。关于将 GNBC 用于尖锐界面问题的全面讨论，可参考 Fullana 等人（2024）的研究。
使用虚拟界面将气泡界面延伸至颗粒内部意味着，当颗粒附着在气泡上时，会存在一个和重叠的区域。因此，我们通过以下公式来设定局部属性，如密度和黏度：
固体指示函数会覆盖气泡指示函数，因此，即便对于处于气泡内部的那部分固体，颗粒的属性也总是能被正确设定。
3、问题设置
3、问题设置
，颗粒总体积分数为
其中Lx、Ly和Lz是区域的尺寸。这些参数使得上升气泡的雷诺数达到适中的约 80。为了确定每个控制参数对颗粒捕获率的影响，我们每次改变一个参数，同时保持其他参数固定，以此进行测试。
表1
在黏性液体中上升的气泡运动可用阿基米德数和Eötvös数来表征，其定义为
其中
。莫顿数
，有时会用它替代阿基米德数。在所有工况下，阿基米德数Ar=3110.4，但Eötvös数和Morton数会随表面张力而变化，如表II所示。除了对附着在气泡上的疏水性颗粒进行模拟外，我们还针对不附着在气泡上的亲水性颗粒重复进行了部分模拟。
对于此处所研究的简单情况，我们可以通过相对基础的建模来深入了解其演变过程。许多作者都提出过此类模型，比如 Bloom 和 Heindel（1997 年）分析了附着有累积颗粒的气泡所受的力；Yoon 和 Mao（1996 年）给出了气泡上颗粒累积的一阶速率方程：
，其中 P 是收集概率，Vg是空气的表观速度。更近一些，Gharai 和 Venugopal（2016 年）回顾了浮选动力学模型，其中颗粒的累积由
给出，这里α是速率常数，m是过程的阶数。我们的简单模型借鉴了这些论文中提出的思路。
图 1. 建模示意图。在时间间隔Δt 内，只有气泡上方圆柱体内的固体颗粒能够被捕获。图中绘制了几条流线以供参考。
以及 
。Ca是一个“捕获系数”，它描述了气泡正上方圆柱体内被捕获的颗粒比例。对于那些不会移开的小而重的颗粒，我们预计Ca≈1；对于随流体一起移动的非常轻的颗粒，我们预计Ca<1；而如果颗粒又大又重，我们可能会有Ca>1，这是因为一个球形气泡穿过球形颗粒床上升时的有效扫掠面积是气泡半径与颗粒半径之和。这对于大颗粒而言很重要，但鉴于我们分析中存在的其他简化情况，以及我们所研究的气泡是可变形的，我们选择仅使用等效球形气泡的横截面积。不过，在所有情况下，我们都预期该系数接近 1。通过以下方式对时间进行无量纲化
。
是阻力系数， 
。对单个气泡在不同重力条件的连续流体中上升进行的模拟显示，阻力系数可以近似为与雷诺数成反比。因此，对于带有颗粒的气泡，我们采用一个简单的模型，即 
，其中 k是一个常数（称为“阻力定律常数”）。将此方程代入式 (14)，我们得到：
式 (17) 和式 (18) 中的未知常数分别是阻力定律常数 (k)、捕获系数 (Ca) 和积分常数 (C)。对于每个具体情况，这些常数通过将数据与方程进行拟合来确定。
时，气泡将停止移动。我们还可以通过以下方法估算能够覆盖一个气泡的最大颗粒数量：用气泡的表面积 
除以单个颗粒的最大横截面积 
，再乘以堆积效率Sp，由此可得 
。通常情况下，球体上圆形的堆积效率低于平面上的堆积效率，但随着圆形尺寸变小，堆积效率会提高。对于无限多个小圆形而言，其堆积效率上限约为 0.9（Clare 和Kepert，1991 年）。四、结果
四、结果
的条件下，一个气泡（黄色）和五百个颗粒 
。尽管在图中并非总是清晰可见，但高涡量区域与颗粒所处位置紧密相关。下落的颗粒挡住了我们观察气泡的视线，因此在图3中，我们展示了气泡上升至区域约一半高度时，从两个不同角度看到的气泡及附着在上面的颗粒。图3（a）为侧面视角，图3（b）是从底部观察气泡的视角。侧面视角表明，由于颗粒向气泡后部滑动，气泡顶部没有颗粒，但气泡下半部分被颗粒覆盖。底部视角显示，颗粒分布相对均匀。我们让颗粒保持略微分离的状态，因为对于相互接触的颗粒，很难维持规则的表面网格。随着网格细化，颗粒会靠得更近。
图2. 对于埃特沃什数Eo=1、阿基米德数Ar=3110.4、α= 2.8%、c=1/4、静态接触角θo=100，以及滑移系数Cslip=0.2的情况，展示1个气泡（黄色）和500个疏水性颗粒（灰色）在不同时刻的状态：(a) τ= 0，(b) τ= 7，(c) τ= 14 。涡量显示在区域后部的一个平面上。
和 
的计算结果均为57.6（如果我们使用），所以在模拟接近结束时，气泡聚集的颗粒数量接近理论最大值的一半。一般来说，我们预期 和 是不同的。
为了研究系统行为如何随控制参数变化，我们使用由方程（17）和（18）给出的简单模型。该模型包含三个未知系数：捕获系数（Ca），表示气泡前方最终附着在气泡上的颗粒比例；阻力定律常数（k），用于近似阻力系数与雷诺数的关系；以及积分常数（C）。我们定义：
图10. 左列：气泡雷诺数随时间的变化。右列：附着在气泡上的颗粒数量随时间的变化。在（a）中，我们研究埃特沃什数Eo变化带来的影响；在（b）中，改变的是体积分数；在（c）中，改变的是颗粒的相对大小。其他参数与第四节A部分的参考案例相同。在（a）中，虚线表示气泡在亲水性颗粒悬浮液中上升的情况。
和滑移系数 
的影响，并在图14中展示了改变这些参数如何影响拟合系数。归一化方法与图13相同，采用标准案例的值。气 - 液界面与固体表面的接触角对泡沫浮选的选择性至关重要。然而，一旦颗粒附着，接触角的主要影响在于确定颗粒嵌入气泡的深度（随着接触角增大，颗粒在气泡内的深度越深）。对于此处研究的取值范围，我们发现基本上不受静态接触角 
或滑移速度 
的影响。
图14. 捕获系数Ca、阻力定律常数kC和积分常数的归一化值与控制参数的关系。(a) 静态接触角θo。(b) 滑移系数Cslip。此处，Ca=0.8，k=55.7且C=0.95。
5、结论
浮力驱动的气泡对疏水性颗粒的捕获是一个复杂问题，众多物理过程会影响最终的选择性。这些过程包括流体湍流、气泡 - 气泡相互作用、气泡破裂与聚并，以及表面活性化学物质的存在。尽管这些过程之间的相互作用错综复杂，但大多数基本过程已得到相对较好的理解。因此，能够精确捕捉所有连续空间和时间尺度的全解析模拟，应有助于极大地增进我们对这一完整问题的理解。在此，我们聚焦于一个相对简单的设定，仅考虑单个气泡在固体颗粒悬浮液中移动的情况，并研究了各种控制参数的影响。为简化计算，我们将雷诺数维持在相对适中的水平，采用非常简单的附着和脱离标准，且仅研究相对较大的颗粒。为了理解动力学如何随控制参数变化，我们使用了一个带有自由参数的简单模型，并针对每组数据进行拟合。该模型能够较好地描述颗粒在气泡上的初始累积情况，但在后期，已附着的颗粒会干扰新颗粒的附着，实际的附着过程比模型所描述的更为复杂。即便如此，研究拟合系数如何随控制参数变化，为我们审视这些参数的影响提供了一种简洁的方式。
影响最为显著的参数是体积分数。随着气泡负载的颗粒增多，附着速率会下降，且在较高体积分数下，这种下降会更快。由于我们的简单模型仅考虑了捕获颗粒的重量，而未考虑它们对降低附着速率的作用，因此发现在本文模拟的时间段内，不仅捕获系数随体积分数降低，拟合的质量也会下降。最高体积分数的结果表明，即使对于较低体积分数，如果跟踪气泡的时间足够长，该模型的适用性最终也会变差。在所考察的范围内，静态接触角和滑移速度的影响都较小。尽管完整的问题要复杂得多，但我们认为本文的研究是重要的第一步，其结果将为进一步的研究提供基准。
