《Mechanics of Solid Polymers》5.3.1连续介质力学基础
5.3.1 连续介质力学基础
如4.11.1节所示，热弹性材料的单位参考体积亥姆霍兹自由能Ψ(·)、第一Piola-Kirchhoff应力P(·)、单位参考体积熵η0(·)和单位参考表面积热流Q(·)仅依赖于变形梯度F、温度θ0和温度梯度Grad θ0。
为满足Clausius-Duhem不等式，热弹性材料的柯西应力必须由下式给出：
为满足客观性（见4.12节），观察者的改变意味着应力和亥姆霍兹自由能必须具有以下函数形式：
将这些代入(4.235)得到：
亥姆霍兹自由能对右拉伸张量(U)的偏导数可以通过以下定理转换为对右柯西-格林张量(C)的导数。
定理：偏导数∂Ψ/∂U可以写成如下形式：
这个定理可以通过不同方式证明。这里，我们从将等式(5.20)左侧转换为指标表示开始：
然后，通过展开项并求偏导数，这个表达式变为：
这就完成了证明。
将(5.20)代入(5.19)，柯西应力的表达式自动满足客观性，如果：
在处理各向同性超弹性模型时，通常方便用右柯西-格林张量的不变量来表示亥姆霍兹自由能，而不是实际的张量(C)。常用的是(4.65)到(4.67)中的不变量：I1(C), I2(C), 和 I3(C):
利用这些不变量，Helmholtz自由能可以表示为Ψ(I₁, I₂, I₃, θ₀)，将其代入(5.26)式得到：
这个方程可以通过以下定理进一步简化。
定理：I₁, I₂和I₃对C的偏导数可以表示为：
证明：这个定理的证明可以通过张量运算得到，详见参考文献。由于证明过程较长，此处略去，留作练习。
将I₁, I₂和I₃的偏导数代入(5.30)式，可得到Cauchy应力的表达式：
通常更常用的做法是使用不变量I₃(F) = J而不是I₃(C) = J²。将这个替换代入方程(5.34)并使用链式法则，我们得到：
这些方程在连续介质力学和材料科学中非常重要，特别是用于描述超弹性材料的应力-应变关系。这个推导过程展示了如何利用Helmholtz自由能函数来获得应力的本构方程。
大多数有限元程序中可用的超弹性模型是基于将变形梯度分解为体积变化（膨胀）和无体积变化（畸变）成分（见方程(4.38)-(4.40)）：
类似地，不变量也可以分为膨胀和畸变部分：
利用这些不变量，Helmholtz自由能可以表示为Ψ(I₁*(I₁,J), I₂*(I₂,J), J)。将这个函数形式代入方程(5.35)并使用链式法则得到：
这个方程可以通过代入方程(5.38)和(5.39)中的不变量进一步简化，得到Cauchy应力为：
如果自由能不依赖于I₂*，那么Cauchy应力可以简化为：
方程(5.41)和(5.42)非常有用，将在本章的其余部分广泛使用。
这些方程提供了一种将超弹性材料的力学行为与其内部结构和变形状态联系起来的方法。它们特别适用于描述大变形下的非线性材料行为，如橡胶和软组织。通过将变形分解为体积变化和形状变化部分，这些模型能够更准确地捕捉材料在不同加载条件下的响应。
例子
对于不可压缩材料，方程(5.41)可以简化为：
其中p是由边界条件决定的压力项。因此，如果不可压缩的超弹性材料受到单轴加载，则加载方向和横向的Cauchy应力分别为：
由此得到：
此外，如果材料不依赖于I₂，并受到不可压缩单轴加载，则Cauchy应力由下式给出：
如果超弹性材料不依赖于I₂，则不可压缩平面加载的Cauchy应力为：
如果受到不可压缩双轴加载，Cauchy应力为：
有时，不使用不变量I₁, I₂和I₃，而是用主拉伸率λ₁, λ₂, 和λ₃: Ψ(λ₁,λ₂,λ₃,θ₀)来表达Helmholtz自由能也很有用。在这种情况下，主Cauchy应力可以从方程(5.26)得到如下：
从C的定义可知∂λⱼ/∂Cᵢᵢ = 1/(2λᵢ)，将其代入方程(5.50)得到：
完整的Cauchy应力张量可以由以下公式得到：
其中nᵢ是左Cauchy-Green张量b = FFᵀ的主方向（参见(4.106)）。使用相同的方法，我们可以类似地证明第一Piola-Kirchhoff应力的主值可以由以下公式得到：
从而得到Piola-Kirchhoff应力张量
类似地，如果Helmholtz自由能用畸变拉伸率 λᵢ* = J⁻¹/³λᵢ 表示，则Cauchy应力由以下公式给出：
