借助AI，总算看完了Ali Hajimiri教授视频的第一集(AI大大降低了学习的门槛)

   

   

今日碎碎念

   

   

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（1） 大概脉络

第一集视频的脉络大概是：

• 从德布罗意波长开始，推导出电子的动量p和电子绕原子核运动的轨道半径r都是量化，而不是连续变化的。所以电子的能级也是量化的。

• 固体是有大量原子组成的，所以当这些原子聚在一起的时候，由于泡利不相容原理，原来的离散能级变成了一系列紧密相连的能级，从而成为了能带。

• 而能带之间的关系，则可以帮助我们区分绝缘体，导体，和半导体。

• 总之，学完这一节，对能带的由来有了一个大概的了解

对于上面的名称，若是陌生的话，别担心，我相信你问一下AI，它就能给你一个简明易懂的解释。

（2）德布意罗波长到量化的电子能级

在量子力学里，电子具有波粒二象性，即既具有粒子的性质，又具有波的性质。

其波长由德布罗意波长公式决定：

想要电子的状态最稳定，需要电子绕核运动的轨道周长是德布罗意波长的整数倍，即：

电子绕核做圆周运动时，库仑力提供向心力，则：

把上面的两个公式进行一下互相替换运算，如板书所示：

可以看到电子的动量p和轨道半径r都是离散值，和n有关，而n是正整数。

但是，并不是所有情况下，p和r是离散的。

只有当电子处于束缚状态下的时候，才是离散的；而自由电子的p和r是连续的。

当电子的能量Etotal，即动能和势能之和为负的时候，电子处于束缚状态。因为Etotal<0，意味着，电子的势能的绝对值大于动能的值，所以电子没有足够的动能来摆脱原子核对其的吸引力。

Etotal的值，如板书所示：

所以，电子的能级是离散的。如板书所示：

（3） 泡利不相容原理导致能级变成能带

当一个原子孤立存在时，其能级是离散的(E<0以下)，如上图所示。

固体中，很多个原子会处于同一系统；泡利不相容原理指出，没有两个电子具有完全相同的四个量子数（两个电子处于同一轨道，不考虑自旋-轨道相互作用等效应时，能量是相同的；但是这边是不同原子靠在一起，所以是相互影响的是不同原子对应同种轨道上的电子的能级）。

当很多原子靠近时，众多电子会按照泡利不相容原理分布在一系列紧密相邻的能级上，这些紧密相邻的能级集 合在一起，就形成了能带，如老师板书所示。

在视频中，老师以碳原子为例子，绘制了不同轨道1s,2s,2p上电子的能量，在到达Diamond lattice spacing（指Diamond晶格中相邻原子之间的距离）之后的变化。可以看到慢慢演变成常看到的能带图了。

（4）绝缘体，导体，半导体

绝缘体的能带图中，价带和导带之间存在一个较宽的禁带；由于禁带宽度较大，所以价带中的电子很难获得足够的能量越过禁带跃迁到导带中。导带中没有电子，而价带中的电子都被束缚着，没法移动，所以绝缘体的导电性很差。

而半导体的能带图中，价带和导带之间的禁带比较窄，在T=0K时，价带被电子完全填满（1s 轨道延伸而来），导带中没有电子。当温度升高等情况发生时，价带中部分电子会获得足够的能量，越过禁带，到达导带。

在导体的能带图中，价带和导带之间会有重叠，或者导带中部分填充了电子。