CAE结构工程师眼中的“频响函数”浅析

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本文好，我是仿真秀专栏作者—码农，一位在飞行器领域，有着8年+CAE结构仿真工作经验。这是我的第一篇技术撰稿《频响函数浅析》。频响函数（Frequency Response Function，FRF）是描述系统在不同频率下的响应特性的函数。它在许多工程领域，特别是控制工程、信号处理和振动分析中有着广泛的应用。频响函数的物理意义可以从以下几个方面来理解：

a)定义

频响函数

是系统在正弦

输入作用下的稳态输出y(t)与输入之间的关系。具体来说，如果输入信号为

，则输出信号可以表示为：

其中：

是频响函数的幅值，表示输出信号的幅值相对于输入信号的放大或衰减程度。
是频率响应函数的相位，表示输出信号相对于输入信号的相位差。

b)幅值响应

幅值响应

描述了系统在不同频率下的增益特性，具体来说：

（1）如果

，则系统在该频率下放大输入信号

（2）如果

，则系统在该频率下衰减输入信号

（3）如果

，则系统在该频率下不改变输入信号的幅度。

c)相位响应

相位响应

描述了系统在不同频率下的相位特性，具体来说。

（1）正相位

表示输出信号相对于输入信号超前

（2）负相位

表示输出信号相对于输入信号滞后

（3）零相位

表示输出信号与输入信号同相

二、单自由度无阻尼系统的频响曲线

为更加方便理解频响函数的各个信息，我们来看看如果是单自由度无阻尼系统，当其阻尼系数C=0，假设其质量为m，刚度为k，那么该系统固有频率和不同输入频率的频响函数如下式所示。

频响函数的各个部分：

（1）模（Magnitude）

（2）相位（Phase）

（3）实部（Real Part）

（4）虚部（Imaginary Part）

无阻尼系统对结构的响应没有延迟，虚部为零，用python画出某个单自由度无阻尼系统的频响函数的幅值、相位、实部和虚部，如下图所示。

图1 单自由度无阻尼系统的频响函数

结合公式不难理解，对于单自由度无阻尼系统，幅值的绝对值等于实部的绝对值，在输入频率趋近于结构固有频率时，模(Magnitude)会趋于无穷大。相位在固有频率处存在突变，从0变化到，在模态振动测试中，除了通过SUM的幅值外，通过相位角突变位置判断固有频率点也是一种可以参考的方法。

三、单自由度有阻尼系统的频响曲线

实际上，现实生活中几乎不存在无阻尼的系统，以单自由度有阻尼系统而言，其频响函数的关系可以用下式表示：

固有频率：

阻尼比：

频响函数

频响函数各个部分：

（1）模（Magnitude）

（2）相位（Phase）

（3）实部（Real Part）

（4）虚部（Imaginary Part）

对于有阻尼系统，模(Magnitude)的数值与系统的阻尼比有关，阻尼越大，模的取值值越小。

相位是输入频率的反正切函数，对于该函数，从数学上画出该曲线，可看出，当自变量趋近于1时，相位值会发生突变，从相位公式理解就是，当输入频率接近固有频率时，相位曲线会发生突变，阻尼越大，突变过程越平缓。

图2 简单反正切函数

频响函数中，正实部表示系统在该频率下的增益为正，即系统输出信号的幅度大于输入信号的幅度。这意味着系统在该频率下对输入信号进行了放大，在机械系统中，正实部可能表示系统在该频率下对输入激励的响应较强，例如，系统在共振频率附近可能会表现出正实部；负实部表示系统在该频率下的增益为负，即系统输出信号的幅度小于输入信号的幅度。这意味着系统在该频率下对输入信号进行了衰减。在机械系统中，负实部可能表示系统在该频率下对输入激励的响应较弱，例如，系统在非共振频率下可能会表现出负实部。在电路系统中，负实部可能表示系统在该频率下对输入信号进行了衰减，例如，滤波器在某些频率下可能会表现出负实部。