数字揭秘丨圣诞树的装饰挑战：滑落的星星

在家人装饰圣诞树时，Matthew Sauer的女儿试图把星星放在圣诞树细长的顶端树枝上。然而，星星非但没有固定住。相反，树枝在星星的重压下弯了腰。

小女孩为此非常伤心："为什么会这样？”

星星的问题很快让全家人的节日喜悦变成了沮丧。幸运的是，Matthew Sauer是一位 Altair 工程师，他知道自己能够找到解决方案。他还知道，这是向女儿展示父亲的工的好机会，比 “开会 ”令人兴奋多了。他开始思考如何用一个简单的结构分析模型来解释这个问题，并解决问题。

于是，我们的 “揭秘 ”问题诞生了：非线性分析能阻止圣诞树倒塌吗？

为此，他创建了一个由装饰性四边形/三角形元素组成的简单 2D 网格，这些元素在模型中不起作用；它们不会对结构产生影响，因此不会影响任何计算。他对星形采用了同样的策略，并将负载应用连接点刚性连接到树干顶端。

Sauer 现在激动不已。他必须告诉女儿接下来要做什么。他说：“现在我们要考虑装载的问题了！”

对于荷载，Sauer考虑了树干的自重以及代表星体质量的点荷载。插图中使用的 “星形 ”荷载值为 100 牛顿；这个值大到足以确保发生弯曲。虽然这并不代表实际恒星的质量，但它说明了他试图向 5 岁的孩子解释的概念。

Sauer 在综合了各种荷载后，不得不承认这棵树的结构缺乏其他类型结构中常见的精确性。它并不垂直，这影响了他观察到的横向挠度。为了解释他的模型与实际树木之间的差异，他采用了符合 ASCE 7 建议的 1% 的名义荷载系数（尽管这可能是一个粗略的估计）。简单地说，名义荷载系数就是将垂直方向的部分反作用力施加到横向。

由于树木的稳定性会随着其形状的变形而降低，Sauer 接下来进行了非线性分析，以捕捉这种行为。非线性分析会随着载荷的增加而更新应力-刚度矩阵和几何矩阵。这比分析方法更有效地捕捉到了大变形效应和屈曲不稳定性。他总共使用了 100 个均匀分布的载荷增量，并使用 Altair^® S-FRAME^® 将增量结果包含在输出中，从而创建了树木行为直至其破坏的详细视图。

说了这么多牛顿、矩阵和分析，Sauer 知道女儿开始失去兴趣，为了让女儿重拾热情，他绘制了树尖连接处的增量结果图，用于分析他所求解的载荷组合。

令他欣喜的是，增量结果显示，当增量载荷上升到总施加载荷的 11% 左右时，变形发生了突变，这就是现实生活中观察到的弯曲。

虽然这是一个令人兴奋的结果，但 Sauer 的女儿仍然不以为然。他知道自己需要让这个过程更具互动性。怎样才能让顶部星星稳定下来呢？他有了几个想法：

1. 插入两个树枝来支撑星星

2. 改进树的结构，减少它的不稳定性

3. 用挂在邻近墙壁上的绳子支撑星星

4. 买一颗更新、更轻的星星

他选择把重点放在清单上的第一个项目上。他改变了树尖的直径，并比较了观察到的弯曲点。他是通过观察负载稍有增加时变形的突然变化来做到这一点的。他将数据绘制成下图。

圣诞树树尖直径与屈曲极限

这些数据给了他所需的答案。通过这些数据，他可以确定，树尖直径小于 2 毫米会大大增加树木倒伏的几率。 

简而言之，树越粗，抗逆性就越强。回答我们的 “揭秘 ”问题：非线性分析无法阻止树木倒伏，但可以帮助您确定树木的稳定性，并帮助您决定星星的重量。

在完成了详细的分析之后，您需要考虑两个实用的注意事项。第一个是除非您有一棵参天大树，否则选择 100 牛顿重的星星（相当于 22 磅或 10 千克）可能不是一个好主意。对于普通树木来说，最好还是选择几盎司重的星星。

第二个或许也是最重要的是，大多数 5 岁的孩子对非线性分析并不感兴趣。但是，他们对把星星挂在圣诞树上和看到爸爸解决问题而感兴趣，而这是不需要非线性分析来验证的。

因此，在你完成圣诞树的最后一个细节之前，花点时间考虑一下它的重量会对圣诞树产生什么影响，它可能会挽救你的节日气氛。