壳单元复杂在哪里-几个壳单元常见线性验证算例

壳单元是有限元中常见的结构单元，其用于模拟在一个方向上尺度远小于另外两个方向上尺度的结构。

关于壳单元的研究由来已久，其相对于其他单元来说研究难度大，推导复杂而又极具吸引力。知名的工程结构专家铁摩辛柯，我国的知名院士钱伟长等均对板壳结构有所研究，当然当时有限元实际上还并没有出现，因此铁摩辛柯和钱伟长院士都是基于理论推导对板壳结构进行了研究。

在有限元方法出现以后，对于用于模拟板壳结构的壳单元常见的有两种研究方式：采用平板模拟壳和采用曲面壳的方式模拟壳。

这两种研究方法各有千秋。

采用平板模拟壳列式简单，力学概念清晰，其具体是将壳的力学行为区分为膜效应和板效应，二者分别计算刚度并进行组合从而得到最终的壳的刚度。

采用平板模拟壳的方法对于壳形状是平板时效果很好，当壳形状为曲面时，此时采用这种方式在力学行为上似乎与实际壳的力学行为相差甚大，因此曲面时壳的受力是膜力和弯曲耦合的，而平板实际上无法考虑二者的耦合。

另外一个方面是，如果采用四边形单元，可能存在四点不共面时的翘曲形状，而平板的列式决定了其四个点必须在一个平面上。此时可以采用的常见方式是进行平面内投影，使得其四点共面，但是这样投影就会对刚度尤其是面外刚度产生较大影响。不过，实际上可以通过合适的处理，使得采用一定细密程度的网格的平板也能较为准确地模拟壳。

采用曲面壳的方式模拟壳不需要将坐标投影，直接针对的是三维坐标进行处理。因此对于翘曲刚度有较好的模拟效果，此时采用积分也是在三个维度上进行，即平面内的两个方向和厚度方向，对于厚度方向，常见的方式是采用Simpson积分或者gauss-lobatto积分，当然也可以采用其他两个方向同样的高斯-勒让德积分。

当采用一阶壳单元时，如果是考虑剪切的壳，可能会存在薄膜自锁，面外剪切自锁，面内剪切自锁等多方面的自锁，因此在商业有限元软件中实际上一阶壳单元需要多个方面的单元技术来解决这些自锁问题，并非普通有限元教程上常规的Kirchhoff-lov或者Mindlin的列式。例如Abaqus中的S4壳单元，就综合了增强应变，假定自然应变，缩减积分+沙漏控制多方面的技术。因此相对实体单元来说，壳单元是比较复杂的，即使仅仅是线弹性，当考虑到几何非线性时，由于涉及到大转动局部坐标系的更新，壳单元就更复杂了。

下面是Abaqus帮助文档中几个常见的验证案例采用Hanfem和abaqus进行对比，实践表明，Hanfem中的壳单元具有较高的精度。

Test1：曲面壳受压力载荷

Test2：30度角倾斜板受压力荷载

Test3：曲面壳受集中荷载

Test4：The Raasch Challenge problem，这是Knight提出的一个具有挑战性的壳单元验证案例，知名大型结构求解器Nastran甚至因为这个问题修改了壳单元的部分算法。

Test5：两端扭曲90度的悬臂薄壳：翘曲严重的壳单元，容易发生薄膜自锁。

以上，即是Hanfem中的壳单元计算结果与Abaqus的S4计算结果的对比。