【科普】怎样计算螺栓的扭矩与预紧力？
对螺栓连接结构进行受力分析，主要的目的是为了计算紧固扭矩。
紧固扭矩=螺纹扭矩+支承面摩擦扭矩=螺纹阻力×螺纹阻力臂+支承面阻力×支承面阻力臂
因此，我们只需要明确螺纹阻力、支承面阻力、螺纹阻力臂、支承面阻力臂即可。
众所周知，螺纹可以看作是螺旋斜面。将螺纹展开为斜面进行受力分析更加符合直觉。
斜线可以看作是一条螺纹线的展开，相当于一个螺纹面；水平线可以看作是螺母的支承面，斜线上的物体相当于螺栓，且这个物体的重量F相当于螺栓的轴向预紧力；水平线和斜线构成的梯形相当于一个螺母，拧紧螺母相当于向左推动重物下的梯形。
向左推动梯形时，平行于斜面的力=平行分量+垂直分量的摩擦力。对于三角螺纹，螺纹表面相对于径向角度为α（斜面与屏幕的夹角，未在图中标出），分力为Fcosβ/cosα。因此，向左推动梯形时，平行于斜面的力为：
克服螺纹阻力的拧紧力通常位于水平面内，所以拧紧力为：
阻力在螺纹表面的作用点是螺纹中径，所以力臂为：
因此，螺纹扭矩为：
通过螺纹几何关系可知：
因此螺纹扭矩可以简化写作：
接下来，我们需要计算支承面上的摩擦扭矩，作用在支承面上的阻力就是支承面摩擦力：
支承面上的摩擦力分布是作用在整个支承面上的，力臂需要通过积分计算。为了简化计算，引入支承面等效摩擦直径dw，将支承面摩擦力假设为作用在直径为dw的圆环上，所以力臂为：
支承面上摩擦扭矩的计算方法为：
假设力在支承面（圆面）上均匀分布，即：
通过上述两个方程，可以计算得到支承面等效摩擦直径dw：
当然，用该公式做工程计算仍然比较繁琐，因此为了进一步简化计算，机械设计手册直接给出了dw值。支承面上的摩擦扭矩可以写作：
因此，螺栓的紧固扭矩为：
紧固力矩与轴向预紧力的基本公式，其物理意义为：
第一项：不考虑螺纹升角时啮合螺纹面间的摩擦扭矩；
第二项：由于升角引起的附加摩擦扭矩；
第三项：支承面的摩擦扭矩；
第一、三项克服界面摩擦与对防松做出贡献，第二项是真正转化为有效预紧力的项。
在螺栓的工程应用中，有一个著名的5-4-1准则，即螺栓头摩擦力矩、螺纹副摩擦力矩以及预紧力转化力矩占拧紧力矩的比例分别是50%(第一项)、40%(第三项)和10%(第二项)。这一原则的由来，就是将μs与μw均假设为0.15，带入紧固扭矩公式进行计算得到的。
（图片来源：马头动力）
此外，通过紧固扭矩公式，我们还可以得知如何通过扭矩计算预紧力：
根据上述公式，我们用相同的扭矩(如100N·m) 拧紧螺栓。当螺纹紧固件的摩擦系数是0.5时，得到的螺栓轴向预紧力约为15kN，当螺纹紧固件的摩擦系数为0.1时，得到的螺栓轴向预紧力超过 60kN。
由此，我们可以得出结论：螺栓的轴向预紧力转化受摩擦系数的影响极大。为了得到稳定的螺栓轴向预紧力仅仅控制紧固扭矩是不够的，必须要关注螺纹紧固件的摩擦系数μ。
而且，从这个公式可以清楚看出，螺栓的轴向预紧力由紧固扭矩(T)、螺栓或螺母的规格参数 (d2、dw、α、P) 和螺纹或支承面的摩擦系数 (μs、μw)确定。不同牙型的螺纹，即使在相同的紧固扭矩、摩擦系数下，也会因为规格参数 (d2、dw、α、P) 的不同，而导致预紧力转化率不同。这就是不同牙型螺纹的拧紧规则、拧紧方法不能一概而论的原因。
讲完了紧固力矩，我们来谈谈拧松力矩。拧松力矩的公式非常简单，是在紧固力矩的基础上得到的。
我们刚刚提到了，紧固力矩与轴向预紧力公式的物理意义包含三项：第一项：不考虑螺纹升角时啮合螺纹面间的摩擦扭矩；第二项：由于升角引起的附加摩擦扭矩；第三项：支承面的摩擦扭矩。
实际上，对于拧松力矩而言，第一项、第三项仍然是存在积极作用的，而第二项在拧松过程中，则呈现出消极作用。因此拧松力矩的公式只需要在紧固力矩的公式基础上将第二项的+号修改为-号即可：
此时，螺纹自锁的分析就很简单明了了，只要保证螺栓在不施加任何松开扭矩的情况下不会自行松开，即为自锁。所以只要保证拧松力矩大于0即可，公式表示为：
虽然根据前述分析我们知道，螺栓的摩擦系数越小，预紧力转化效果越好。但是通过自锁公式我们得知，螺栓的摩擦系数不能无限减小，否则不满足自锁条件。
但实际上，螺纹满足自锁条件所需要的摩擦系数是非常小的，工程应用无需考虑此问题。
扩展性内容：支撑面等效摩擦直径dw的计算方法研究
在上文的分析中，我们假设力在支承面（圆面）上均匀分布，并给出了支承面等效摩擦直径dw的计算公式：
但实际上，许多螺栓没有圆形支承面，而是六角形螺栓头直接与被连接件接触，对于此种情况，假设力在支承面（六角头面）上均匀分布，则有：
在工程当中，计算要求不高时，假设力均匀分布是很好的简化计算方法，但实际上，接触区域的应力分布状态是很复杂且不均匀的。因此在科学研究中，学者刘建华，提出了基于螺栓精确有限元分析方法（可通过本公司的Thread Designer软件完成螺栓精确有限元模型的创建）的更加符合实际等效摩擦直径计算方法：
首先，通过螺栓精确有限元建模，进行接触区域的应力分布云图计算：
提取径向方向上法向接触区应力：
法向接触应力分布可以沿通过多项式拟合得到：
因此，非均匀分布应力场的等效摩擦直径dw为：
扭转激励下螺栓连接结构松动行为数值研究
[1] 刘学通. 扭转激励下螺栓连接结构松动行为数值研究 [D]. 成都: 西南交通大学博士学位论文, 2023.
螺纹联接的理论与计算
[2] 山本晃. 螺纹联接的理论与计算 [M]. 上海: 上海科学技术文献出版社, 1984.
Dynamic behaviour of a bolted joint subjected to torsional excitation
Jianhua Liu, Huajiang Ouyang, Zhiqiang Feng, Zhenbing Cai, Jiliang Mo, Jinfang Peng, Minhao Zhu. Dynamic behaviour of a bolted joint subjected to torsional excitation [J]. Tribology International, 2019, 140, 105877.
