数字信号处理v3 第四章 快速傅里叶变换(2)
感谢快速傅里叶变换的出现，使得我们算法人员能够提高信号处理的效率。虽然芯片的运算速度一直在提升，但是一些新的理论的发现会加速相关技术的发展。FFT的出现就让人感受到算法的强大作用，虽然和DFT有着同样的结果，但是却更加简单、运算量更小。在讲课之前，我们可以先回顾一下DFT的几个主要特性。在DFT讲解的过程中，本人出了一道仿真题目让同学们课后写程序。两个正弦信号（频率分别为100Hz和101Hz，时间长度为1秒）叠加后的双音信号（信号发生器可以产生双音信号）经过FFT后，观察信号的频域情况？将信号的时间长度减为0.5秒，频域情况又会是如何呢？结果只有几位同学做了仿真，没有给出什么实质性的结论。他们压根没有看或者没看懂DFT章节的内容。没有复习，怎么能理解DFT。在课堂上提问，频率分辨率和信号的什么参数有关？台下一片寂静。出这样实践性较强的题目不是为了为难大家，而是为了让大家能够通过仿真来了解DFT。只有清楚的知道DFT的参数特性，才能灵活的使用。灵活二字看起来很简单，但要从初学者到这个境界，至少需要五年以上，因为这个过程需要很多理论知识的承载，多遍看书和思考总结的结合。2021年9月，再次修订文章！2022年，准备回归课堂，也不知教学效果会如何？忐忑！每个人都希望改变，但改变需要实际行动！我是时刻在努力，但很多人在沉睡或者装睡，那么我就只能和志同道合的人一起前行！2022年6月，得知下半年没有机会讲本课程，赶紧更新发出v2版本！2024年9月，本人花费一个多月时间更新完成第四章内容，也就三篇文章，每一篇文章都接近五千字，如同一篇小论文，请读者保持耐心看完。抽样频率如何选择？频率分辨率如何计算？这两个概念是应用FFT的关键知识点！在数字信号处理中，抽样频率（Sampling Rate）和频率分辨率（Frequency Resolution）**是两个非常重要的概念，分别影响信号捕捉的精度和频率域分析的能力。它们的选择和计算有密切的关系，并且在仿真程序中通过不同的参数设置来体现。
1. 抽样频率的选择
抽样频率是指每秒钟从连续信号中抽取样本的次数，通常以赫兹（Hz）为单位。它的选择需要遵循奈奎斯特采样定理，即：抽样频率应至少为信号中最高频率的两倍，才能避免混叠现象。这里先不讨论带通采样定理，该定理的应用和奈奎斯特采样定理有些差异。如果信号中最高频率成分为 fmax，则根据奈奎斯特采样定理抽样频率 fs 应满足：fs≥2fmax。在仿真中，设定合适的抽样频率是为了确保捕捉到信号的完整频谱。例如，在MATLAB中，可以通过设置 fs 参数来控制采样率：fs = 1000; % 1000Hz 的采样频率 signal = sin(2*pi*50*t); % 频率为50Hz的正弦波通过调节信号的采样点数或采样时长，可以影响频率分辨率。例如，使用快速傅里叶变换分析信号的频谱时，频率分辨率由采样频率和采样点数决定：N = length(signal); % 信号的采样点数freq = (0:N-1)*(fs/N); % 频率轴fft_signal = fft(signal); % 对信号进行FFT变换plot(freq, abs(fft_signal)); % 绘制频谱课本涉及了频谱泄露的概念！非常实用的概念！因为信号有截断，那么必然会造成频谱泄露！为什么会有截断？频率泄露（Spectral Leakage） 是傅里叶变换中的一种常见现象，发生在信号长度不匹配其周期，导致其频谱能量泄露到相邻频率。它通常表现为频谱峰值变宽，且未在特定频率上集中。要想理解这些概念，光看书很难做到！来个仿真，那么很多概念会在写仿真代码的时候变的清晰！一起来看仿真代码！N = length(signal); % 采样点数fft_signal = fft(signal); % FFTfft_magnitude = abs(fft_signal/N); % FFT幅值归一化fft_signal1 = fft(signal1); % FFTfft_magnitude1 = abs(fft_signal1/N); % FFT幅值归一化freq = (0:N-1)*(fs/N); % 频率轴half_N = floor(N/2); % 取一半频率（对称） 
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