学习笔记丨辐射度学（上）
热辐射定律已经写了两篇，准备写朗伯余弦定律，于是翻开《传热学》，大概2页内容，然而这定律有什么用，该怎么用却不知道。重新看了一遍朗伯余弦定律，把学习笔记过来分享一下。
翻看杨世铭《传热学》第359页8.2.3 兰贝特（朗伯）定律。包括：立体角、定向辐射强度、兰贝特定律（余弦定律）、兰贝特定律与斯蒂芬-玻尔兹曼定律之间关系。
说实话，《传热学》重看一遍我依然不知所云...于是安下心认真看，却越看越跑偏…
严格来说，这篇学习笔记和热辐射没什么关系，主要是《辐射度学和光度学》相关知识点整理。
知识点1：立体角
1.1 定义
立体角（符号：Ω）是用来描述辐射能向空间发射、传输或被某一表面接收时的发散或汇集的角度。
1.2 计算方法
以锥体顶点为球心做一个球表面，该锥体的球表面上所截取部分的表面积和球半径的比，单位是球面度（steradian），符号为sr。
传热学中这张切西瓜示意图，很容易理解立体角，切出的一小条西瓜，西瓜皮表面积为S，西瓜半径为r则：
立体角单位：sr。
1.3 理解立体角
在二维平面图形上，常用角度描述两条或者一束射线的发散和会聚的程度，辐射能是以电磁波形式向它所在空间传输，使用立体角表示辐射能在传输中的发散和会聚的空间角度。
半径为r的球其表面为4πr2，光源向整个空间发出辐射能，或者一个物体从它所在的整个空间接收辐射能时，它们对应的立体角为4πsr，而半球空间为2πsr。
在球坐标系中，天顶角度θ和方位角φ的增量dθdφ围成的立体角为：
在θ、φ角度范围内的立体角为：
如下图所示，求空间一任意表面s对空间某一点o所对应的立体角时，可以由o点向空间表面s外边缘做一系列射线，这些射线围成的空间角度的度量即为表面s对o点所张的立体角。
注意：（1）不管空间表面的凹凸如何，只要它们对同一o点所作射线围成的空间角是相同的，那么有相同的立体角。
即，图中对于o点表面s’和s所张的立体角相同。
（2）在光学系统能量计算时，常常遇到求一个圆对称表面对某点o所张的立体角。
如果该表面距o点较远，则常常可以先将表面投影到o点与圆对称中心连线方向垂直的平面上（圆心位置不变），然后用该投影圆面积除以它到o点的距离平方来近似计算
式中：θ为表面法线方向和观察方向夹角，从相对较远的距离观察到小表面可以近似地视为微元面积。
从相对较大的距离观察到的小表面可以近似地视为微分面积上式可近似计算求得的立体角，比实际对应的立体角小，其误差如下表所示。
表 用近似公式计算立体角的误差
知识点2：辐射强度
《传热学》P361对定向辐射强度讲解的有些生硬，内容逻辑比较弱。
2.1 定义
辐射强度（符号：I）是某给定传输方向上的立体角元内光源发出的辐射通量除以该方向位置对应的立体角。
2.2 计算方法
还是西瓜示意图，西瓜皮对应立体角为Ω（单位sr），该西瓜皮对应立体角的能量/辐射通量即为辐射强度，计算公式为：
辐射强度单位：W/sr。
2.3 理解辐射强度
辐射强度是把光源作为一个整体来描述来描述其辐射功率的方向特性，用于描述辐射面元的辐射强度是十分必要的。
点源向空间发出辐射能是球面波，不考虑传输过程中能量损失（散射、反射、吸收），在给定方向上的立体角内，不论辐射能传输具体多远，它们的辐射通量是不变的。
但绝大多数光源向空间各个方向发出的辐射通量是不均匀的，这样就有必要描述光源空间某个方向上或者各个方向发射辐射通量大小或分布的可能。
图 极坐标表示地物的辐射强度方向分布
知识点3：辐射照度
3.1 定义
辐射照度（符号：E）是描述微元面元接收到的辐射通量。
3.2 计算方法
表面某处面元被照射的辐射通量除以该面元的面积，即
辐射强度单位：W/m2。
它和辐射出度具有相同的定义方程和单位，辐射出度和辐照度分别用来描述微元面元发射和接收辐射通量的特性。
3.3 朗伯余弦定律
如果有一个微元元能反射入射在它上面的全部辐射通量，那么把该面元看作是一个辐射源表面时，它的辐射出度在数值上就等于照射在该面元上的辐照度。
地球表面的辐照度是它各个部分（面元）接收太阳直射以及大气向下散射产生的辐照度之和；
而地球表面的辐射出度则是它作为宇宙空间的一个辐射源其上各面元向空间发射的辐射通量。
在立体角dΩ内，有垂直于传输方向上的面元dA和传输方向成θ角的面元dA’。根据前文已知，同一立体角内的辐射通量不随传输距离的变化而变化，那么面元dA和面元dA’的辐照度dE和dE’分别为：
这就是朗伯余弦定律。
注意：（1）对于任意光线（如平行光）都是适用的。
（2）如果辐射面元平行于光线，则根本接收不到任何辐射能量。
知识点4：辐射亮度
4.1 定义
辐射亮度为（符合：L）光源在垂直其辐射传输方向上每单位光源表面积在单位立体角内发出的辐射通量。
4.2 计算方法
光源表面上某面元在给定方向上的辐射强度除以该面元在垂直于该方向的平面上的投影面积。
辐射亮度单位：W/（m2.sr）。
4.3 理解辐射亮度
辐射亮度在光辐射能传输和测量中起到核心作用，它是光源上微元面元在垂直传输方向上辐射强度特性的描述。
描述天空辐射特性时，如果能获得各部分的辐射特性，这时使用辐射亮度概念可以描述天空各部分辐射亮度分布的特性。
注意：（1） 辐射亮度用于描述面光源（地物、天空）；
（2） 辐射强度用于描述点光源，但一个微元面元也可以视为点光源；
（3）描述天空辐射特性时，如果能获得各部分的辐射特性，这时使用辐射亮度概念可以描述天空各部分辐射亮度分布的特性。
4.4 朗伯表面
辐射强度随该方向和表面发现之间夹角的余弦而变化。
朗伯表面：在任意发射（漫射、透射）方向上辐射亮度不变的表面称为朗伯表面。
根据上式就可以理解是如何根据朗伯余弦定律（针对辐射强度），得到朗伯表面的（针对辐射亮度）。
朗伯表面的辐射出射度M与辐射亮度L之间存在一定关系。朗伯表面接收的辐射度为E，反射比为ρ，则入射辐射通量为：
即朗伯表面的辐射出度等于它的辐射亮度与π的乘积。
注意：（1）一些磨砂表面可近似为朗伯表面，但并不严谨；
（2）在遥感数据处理中，沥青路面及混凝土路面认为是朗伯表面；
（3）目前技术已经制造出接近完美的朗伯板，Spectralon标准朗伯板是目前世界上最优朗伯板之一；
（4）自然界中的地物表面实际上都是非朗伯板。
5 小结
参考文献
1.Heat and Mass Transfer
2.传热学
3.辐射度学和光度学
