《Mechanics of Solid Polymers》4.2.2多轴加载
4.2.2 多轴加载
小变形多轴加载情况如图 4.2 所示。在多轴情况下，样本中每个点的应力由六个值来表征：σ11, σ12, σ13, σ22, σ23, σ33和ε11, ε12, ε13, ε22, ε23, ε33。这些值通常被表示成对称的3 x 3矩阵：
图 4.2 多轴应力的经典定义，应变分量的定义类似
在多轴情况下，每个点的应力和应变可以通过在一个小立方体形状的体积元素上的正应力和剪切应力来表示，如图4.2所示。应力或应变量的第一个下标表示该面所受的正应力方向，而第二个下标表示应力或应变量的方向。每个面包含一个正应力和两个剪切应力。为了满足力平衡，剪切应力矩阵是对称的，即σ12 = σ21, σ13 = σ31, σ23 = σ32。
多轴情况下的应变可以以类似于单轴的方式计算。首先定义一个位移向量 U = [U1, U2, U3]，它随着材料中由 X = [X1, X2, X3]指定的位置而变化：
在这个等式中，（大写）X 是材料点在变形状态中的初始位置，而在变形状态中，小写的 x 是材料点的位置。位移向量关于初始位置的偏导数就是位移的梯度：
应变矩阵定义为方程(4.7)的对称部分：
这些应力和应变的定义对于分析涉及小变形的问题已经足够。然而，如果施加的变形足够大，使得样本的形状或尺寸在施加变形过程中发生显著变化，情况就会变得更加复杂。在这种情况下，需要更一般的应力和应变描述。下一节将介绍适用于大变形的理论扩展。
示例
为了说明小应变方法的局限性，考虑一种情况，其中图4.1中的圆柱体是由柔性橡胶制成，并施加了很大的力。在这种情况下，样本的长度和横截面积的变化可能非常显著。在小应变理论中，应力计算方式是σ = F/A，但这里一个明显的问题是，在变形过程中横截面积在发生变化。在小应变理论中，A被假定为常数，但在大应变情况下，这个假设是不成立的。事实上，如果我们使用初始面积Ao来计算应力，我们得到的是工程应力：σeng = F/A0；如果我们使用当前（实际）面积来计算，我们得到的真实应力：σtrue = F/A。
注意
对于何时适用小应变理论，没有严格的规则，但一般的规则是应变幅度必须小于1%。如果有效应变大于这个幅度，通常最好切换到大应变理论。在Abaqus中，您可以通过在*STEP命令中设置NLGEOM=yes来启用大变形理论。在ANSYS中，您可以通过设置nigeom, on来启用大变形理论。
