时域有限差分算法FDTD
麦克斯韦方程组是表述宏观电磁现象的一组基本方程。
过去150多年，局部、体响应函数（如介电常数）和宏观麦克斯韦方程组完全描述了经典电磁问题，它只具有波长λ和几何尺度。上述对本征电子长度标度的否定可能导致最终在纳米尺度范围内崩溃[1]。杨毅(音)等科学家团队在《自然》上发表了一篇题为《纳米级电磁学的一般理论和实验框架》(A general theoretical and experimental framework for nanoscale electromagnetism)的突破性论文。他们在论文中提出了一个模型，成功将宏观电磁学的有效性扩展到了纳米领域。
暂且不谈纳米尺度的电磁问题。这里仅看宏观电磁现象，几乎所有电磁问题的求解，最终都可追溯到麦克斯韦方程组。
麦氏方程分为微分形式 和 积分形式，时域有限差分方程是从微分形式的麦克斯韦旋度方程出发进行差分离散而得到的一组时域离散迭代方程[2]。
麦克斯韦旋度方程为
Δ×H = ∂D/∂t + J
Δ×E = -∂B/∂t - Jm
各向同性线性媒质中，上述状态变量的本构关系为
D = εE
B = μH
J = σE
Jm =σmH
将状态变量的本构关系 带入到旋度方程，在直角坐标系中对其展开
会得到关于六个标量的两组方程
为了更好的进行数值求解，K.S.Yee 在1966年提出了Yee元胞，如下图所示
对坐标轴x,y,z方向进行空间离散取样，其间隔分别为Δx,Δy,Δz，时间抽样间隔为Δt。在t =(n+1/2)Δt时刻和空间位置(i+1/2,j,k)处，对Ex用nΔt和(n+1)Δt时刻的场值进行平均等效处理，
则得到关于六个标量方程组的离散形式，继而得到了FDTD方程组。
之后按照下述流程进行迭代计算:
已知t1=t0=nΔt时刻空间各处电厂E的值
1、计算t2 = t1 + Δt/2 时刻空间各处磁场H的值
2、计算t1 = t2 + Δt/2 时刻空间各处电场E的值；
3、回到步骤１循环计算；
[1] Y. Yang et al., "A general theoretical and experimental framework for nanoscale electromagnetism," Nature, vol. 576, no. 7786, pp. 248-252, Dec 2019.
[2] 杨天宏. 时域有限差分中的色散媒质问题研究[D]. 东南大学, 2015.
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