数学基础概念（二）
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As shown below👇
No.1：
ZFC公理系统
ZFC 公理系统
ZFC 公理系统是一种用于描述集 合论的规则集，由弗朗西斯·戴维·里德（Ernst Zermelo）和阿伦·哈罗尔德·斯科勒姆（Abraham Fraenkel）等人提出。这个系统有一些基本的规则，帮助我们理解 集 合的性质。
空集公理（Axiom of Empty Set）： 存在一个空集 合，即没有元素的集 合。
对集公理（Axiom of Pair Set）： 对于任意两个集 合，存在一个包含这两个集 合的集 合。
并集公理（Axiom of Union Set）： 对于任意集 合，存在一个集 合，其中的元素是原集 合中所有元素的并集。
无穷公理（Axiom of Infinity）： 存在一个集 合，其中包含空集，且对于集 合中的每个元素a，都包含其后继元素a∪{a}。
替换公理（Axiom of Replacement）： 如果有一个集合A，对于A中的每个元素a，存在一个唯一的集合B与之对应。
幂集公理（Axiom of Power Set）： 对于任意集 合，存在一个包含该集 合所有子集的集 合。
选择公理（Axiom of Choice）： 对于任意一组非空集 合，存在一个集 合，它包含每个原始集 合中的一个元素。
这些公理构成了 ZFC 公理系统，帮助我们更准确地定义和研究集 合的性质。在高阶数学中，这些规则被用于建立更复杂的数学理论。
No.2：
集 合的势
集 合的势，通常被称为集 合的基数（cardinality），是用来度量集 合中元素个数的概念。在数学中，我们经常用符号 "|A|" 表示集 合 A 的基数。
集 合的基数可以是有限的，也可以是无限的。下面简单介绍两种情况：
有限集的基数： 如果一个集 合包含有限个元素，那么它的基数就是元素的个数。例如，集 合 {1, 2, 3} 的基数是 3。
无限集的基数： 对于无限集，我们不能用常规的数来表示其基数。为了比较不同无限集的大小，引入了不同基数之间的比较。其中一个著名的无限基数是阿列夫零（Aleph-null），用 ℵ₀ 表示，表示可数无穷，即集 合的元素可以一一列举。如果有两个集 合 A 和 B，存在一一对应的映射（双射）将 A 的元素和 B 的元素对应起来，那么我们称 A 和 B 具有相同的基数。这样的集 合称为等势 集 合 。例如，自然数集 合 ℕ 和偶数集 合 {0, 2, 4, ...} 具有相同的基数，因为存在一一对应的映射，将每个自然数与它的两倍对应。
在集 合论中，基数理论是一个深入且复杂的领域，涉及到无限集 合的比较和运算。Cantor 的基数理论为我们提供了一种深刻的理解，同时也为我们处理不同势集 合的问题提供了工具。
PS: 数学的一些主流分支
数学是一门广泛而深刻的学科，包含许多不同的分支。以下是一些主流的数学分支：
代数学（Algebra）： 研究数与符号之间的关系以及它们的运算规律。
几何学（Geometry）： 研究空间形状、大小、相对位置以及它们的性质。
微积分学（Calculus）： 包括微分学和积分学，用于研究变化和区域的面积。
概率论与数理统计（Probability and Statistics）： 研究随机现象和数据的收集、分析、解释。
数论（Number Theory）： 研究整数及其性质，包括素数理论等。
拓扑学（Topology）： 研究空间的性质在连续变形下的不变性，关注形状和空间结构。
线性代数（Linear Algebra）： 研究向量空间、线性方程组和线性映射等。
离散数学（Discrete Mathematics）： 研究离散结构，如图论、集 合论、逻辑等。
数学分析（Mathematical Analysis）： 包括实分析和复分析，研究函数、极限和连续性。
微分方程（Differential Equations）： 研究包含导数或微分的方程。
组合数学（Combinatorics）： 研究离散结构的组合和排列问题。
偏微分方程（Partial Differential Equations）：研究包含偏导数的方程。
这些只是数学领域的一部分，每个分支都有其独特的应用和问题。数学在科学、工程、经济学等领域中都发挥着关键作用。
