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数学基础概念(一)

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群论



   

群论是数学中研究群的一门分支。

是一种代数结构,它由一个集 合和在该集 合上定义的一个二元运算组成,满足四个性质,分别是封闭性、结合性、存在单位元和存在逆元。

具体来说,一个群G是一个集 合,配备了一个二元运算(通常表示为乘法),满足以下性质:

  1. 封闭性:对于任意属于G的元素a和b,它们的乘积ab也属于G。

  2. 结合性:对于任意属于G的元素a、b和c,满足(ab)c = a(bc)。

  3. 存在单位元:存在一个元素e,对于任意属于G的元素a,有ea = ae = a。

  4. 存在逆元:对于任意属于G的元素a,存在一个元素b,使得ab = ba = e,其中e是单位元。

群论的研究涵盖了许多数学领域,包括抽象代数、数论、几何学等。群论在解决代数方程、几何问题以及物理学中的对称性问题等方面有广泛的应用。

[1] 内森·卡特,“群论彩图版”,机械工业出版社,2019.









朴素集 合论



   

首先,我们来了解一下什么是集 合。 集 合可以理解为一组对象的集 合。比如,你可以有一个水果的 合,里面有苹果、橙子、香蕉等各种水果。

集 合有一些基本的性质,例如:

  1. 互异性(不同性):集 合中的每个对象都是独特的,不会有相同的。

  2. 无序性:集 合中的对象没有顺序,即你不能说某个对象在集 合中的位置。

  3. 确定性:一个对象要么属于集 合,要么不属于,没有模棱两可的情况。

我们还可以用图形来表示 集 合,用一个圆圈表示集 合,里面的元素用点表示。比如,集合A={苹果,橙子,香蕉}可以用一个圆圈表示,里面有三个点分别表示苹果、橙子和香蕉。

集 合论还包括一些基本的运算,比如并集、交集等。这些运算可以帮助我们处理集 合之间的关系。

总的来说,朴素集 合论是研究集 合及其基本性质的数学理论,它为我们理解和处理各种数学问题提供了基础

[1] Paul R. Halmos,“朴素集 合论”,世界图书出版公司,2008.






 
 


映射



   

映射可以简单地将其想象成一种关系,其中一个集 合的元素与另一个集 合的元素之间有特定的对应关系。这对应关系可以用箭头表示。

让我们来看一个简单的例子:假设有两个集 合,集合A包含{1, 2, 3},集合B包含{apple, orange, banana}。现在,我们建立一个映射,将集合A的元素映射到集合B的元素,规定如下:

  • 1 映射到 apple

  • 2 映射到 orange

  • 3 映射到 banana

你可以想象这个映射关系为从集合A的每个元素画一条箭头指向集合B的相应元素。这就是一个映射。

在数学中,我们通常用函数的概念来描述映射。一个函数是一种特殊类型的映射,其中每个输入元素(域中的元素)都有唯一的输出元素(值域中的元素)。

总体而言,映射是一种将一个集 合的元素对应到另一个集 合的元素的方式,它在数学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。

[1] 阿德里安·班纳,“普林斯顿数学读本”,人民邮电出版社,2020.







 
 



end    
   


来源:灵境地平线
理论
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首次发布时间:2024-08-04
最近编辑:2月前
周末--电磁仿真
博士 微波电磁波
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cst出SAR结果的过程

SAR即英语“SpecificAbsorptionRate”的缩写,意为电磁波吸收比值或比吸收率。是手机或无线产品之电磁波能量吸收比值,其定义为:在外电磁场的作用下,人体内将产生感应电磁场。简单记录下用cst出SAR结果的过程1、fieldmonitor里设置SAR2、仿真完成之后,在post-processing中resulttemplatestools---选择2d3d场结果再选择sar3、计算sarSAR值一般指手机产品中电磁波所产生的热能,它是对人体产生影响的衡量数据,单位是W/Kg(瓦/公斤)。美国联邦传播委员会(FCC)所公布行动电话的安全标准值为1.6,因此只要行动电话的SAR值在1.6以下,都是在安全标准内的产品。SAR值表示行动电话的热能会对人体会造成多少影响,数值越大,表示对人体的影响越大;反之则影响较小。ps:csthelp文档中关于SAR的描述DefinitionTheSpecificAbsorptionRate(SAR)isdefinedasthetimederivativeoftheincrementalenergy(dW)absorbedby(dissipatedin)anincrementalmass(dm)containedinavolumeelement(dV)ofagivenmassdensity(r).TheSARvalueisexpressedinunitsofwattsperkilogram(W/kg).ThePowerLossDensity(PLD)valueisexpressedinunitsofwattspercubicmeter(W/m^3).SARcalculationCSTMICROWAVESTUDIOofferswhole-body-averagedandlocalSARvalues:Whole-body-averagedSAR:Thevalueisobtainedbydividingthetotalpowerabsorbedinthehumanbodybythefullbodyweight.Itisalsopossibletodefineasubvolumebypicksorbynumbers.LocalSAR:SARisgivenasanumericalvaluepervolumeelementandbecomesaspacedistributionfunction.Forthisfunction,themassmeanvalueinarbitrarytissuevolumeiscalledlocalSAR.TypicallocalSARvaluesareaveragedintissuemassesofaround10gspecifiedbytheTelecommunicationTechnologyCouncilAgendaNo.89andCENELEC1995,whereasthevalueof1gisadoptedbyANSI/IEEEC95.1-1992oftheUnitedStates.Acuboidaveragingvolumeisused.SARresultfileTheSARresultsfilecanbeaccessedintheSARcalculationdialogandbyclickingEdit->InfowhiletheSARfieldresultisselectedintheNavigationTree.Itcontainsthefollowing:Powerscaling:IndicatesifthewholeSARresultisrescaledtoauserdefinedpower.StimulatedPower:InputpoweroftheSARcalculation.AcceptedPower:InputpoweroftheSARcalculationwithoutreflectionlosses.Sys.StimulatedPower:Stimulatedpowerofthecircuitexcitation(ifused).Sys.AcceptedPower:Acceptedpowerofthecircuitexcitation(ifused).ARfilterresults:IndicatestheavailabilityofARfilterbalanceresults.Powerlossdensitymonitorused:NameandfrequencyofthepowerlossdensitymonitorusedtocalculatethisSARresults.Averagecellmass:Theaveragemassofallgridcellswhichcontainmaterialwithmassdensity(rho)greaterzero.Averagingmethod:ThemethodusedtocalculatespatialaveragedSARifnotPointSARhasbeencalculated.Averagingmass/Averagingvolume:Themassoftheaveragingcubeusedforspatialaveraging.If"Constantvolume"hasbeenchoosenasaveragingmethod,thevolumeofthecubeisgiven.IfPointSARhasbeencalculated,zeroisoutput.EntireVolume/SelectedVolume:Thefollowingvaluesapplytotheentirecalculationdomainortheselectedsubvolumerespectively.Min/Max/Volume:Thespatialdimensionsandthevolumeofthecalculationdomainorsubvolumerespectively.Absorbedpower:Thetotalpowerabsorbedinbiologicaltissueandotherlossynormalmaterial.Pleasenotethatlossymetalisnotincluded.Tissuevolume/Tissuemass:Thevolumeandmassofthebiologicaltissuecontainedintheentirecalculationdomainorsubvolumerespectively.Tissuepower:Thepowerabsorbedinbiologicaltissue(allmaterialwithmassdensitygreaterzero).Averagepower:Theaveragepowerabsorbedinbiologicaltissue(allmaterialwithmassdensitygreaterzero).TotalSAR:Thetissuepowerdividedbythetissuemass.Max.pointSAR:ThemaximumpointSARofallgridcells.Foreachgridcell,itspointSARiscalculatedbyitsabsorbedpowerdividedbyitsmass.MaximumSAR:ThemaximumofthespatiallyaveragedSARforthegivenaveragingmass.ForpointSARcalculations,theaveragingmassisdenotedaszero.Maximumat:Thespatialpositionoftheabovemaximum.Avg.vol.min/Avg.vol.max:Givesthedimensionsandpositionoftheaveragingcubeusedfortheabovemaximum.Notethatifstatisticsforboththeentireandtheselectedvolumeareoutput,theaveragingcubeisonlyoutputfortheselectedvolume.Largestvalidcube:Edgelengthofthelargestvalidaveragingvolume.Smallestvalidcube:Edgelengthofthesmallestvalidaveragingvolume.Avg.Vol.Accuracy:VolumeaccuracyoftheaveragingcubesusedforinSARcalculation.Calculationtime:TimeusedfortheSARcalculation.TLMSARCalculationTheTLMsolverhasalegacybuilt-inSARcalculatorthatcalculatespointSARandSARaveragedover1gand10gwhenaPowerlossdensityfieldmonitorhasbeendefined.Thiscalculationisnotcompliantwithrecentstandards.TheaverageSARcalculatedforacellisconsideredinvalidifthediscretizedaveragingregionthatisgrownaroundthatcellincludesmorethan10%airorthecentreofeverycellonanysinglefaceoftheaveragingregioniscompletelyinair.IfthecalculatedaverageSARforacellisconsideredinvalidthenthemaximumSARcalculatedforanycellwhoseaveragingregionenclosestheinvalidcellwillbetakeninstead.PBAisnotconsideredwhencalculatingthevolumeofeachcellinthisaveragingregion,wholeCartesiancellsareassumed.来源:灵境地平线

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