网格画得越细，有限元分析结果就越精确？

有限元分析是一种广泛应用的数值方法，用于求解各种工程和科学问题中的微分方程。在有限元分析中，网格的划分是一个关键步骤，因为它直接影响到计算结果的精度和计算效率。那么，是否网格画得越细，分析结果就越精确呢？

 

我们要明确一点，网格的细化确实可以在一定程度上提高分析的精度。当网格足够细时，它能够更好地捕捉到问题域中的细节和变化，从而得到更准确的解。

这是因为在有限元分析中，我们实际上是将连续的问题域离散化，用一系列的单元来近似表示。如果网格太粗，那么这些单元可能无法准确地描述问题域中的复杂变化，从而导致计算结果的误差。

然而，网格的细化并不是无限制的。

当网格细化到一定程度后，继续增加网格数量可能不会显著提高分析的精度，甚至可能导致计算效率的降低。这是因为有限元分析中的误差来源不仅仅是网格的离散化，还包括其他因素，如舍入误差、迭代误差等。此外，当网格数量过多时，计算量会显著增加，导致计算时间变长，甚至可能超出计算机的内存限制。

很多时候，提高单元数量对于计算精度的提高，远远比不过选用更好更合理的单元类型。对于不同的求算对象，所需要的单元数量也不相同。一般来说，求算应力需要比求算位移更多的单元，而求算剪应力需要比正应力更多的单元。

举一个常见小例子，平面应力问题，计算一根悬臂梁的变形和应力：

悬臂梁的宽度为1，弹性模量30000，泊松比0.3，自由端承受竖向荷载100。求解A点的竖向位移、B点的正应力、C点的剪应力。

分别选用不同类型的四种单元计算，包括三节点三角形 CSTG、六节点三角形 LST、四节点四边形 IPLQ、八节点四边形 IPQQ。

首先计算位移和应力的理论解：

A 点的竖向位移为0.895，B 点的正应力为90，C 点的剪应力为7.5。

然后分别用不同数量的四种单元进行比较计算，所用软件为 GT STRUDL，单元名称按照 GT STRUDL 的命名，计算结果是这样的：

随着单元数量的增多，位移、正应力和剪应力结果都趋近于理论解。

对于不同的单元类型，趋近理论解的速度完全不同。同样是32个单元，CSTG 的位移结果是0.5072，正应力是33.11，与真实解 0.895 和 90 相差甚远。而32个单元的 LST 结果为0.8978和88.68，已经很接近于理论解 0.895 和 90。

同样是64个单元，IPLQ 的结果为 0.8715 、89.52，而 IPQQ 的结果则达到了 0.8999、90.01，可以说正应力结果已经非常非常接近理论解。

如果比较一下四边形单元的结果和三角形单元的结果，差异更加明显。对于位移结果来说，2000个CSTG单元的精度也比不上4个IPQQ单元的精度。

如果横坐标为单元数量，纵坐标为计算结果，绘制一张收敛图像的话，对于位移来说是这样的：

对于这四种单元类型，要想达到类似的可以接受的精度水平，需要的单元数量完全不同。

根据上面的分析，想要得到精度可以接受的计算结果，CSTG需要2000多个单元，而IPQQ仅需要64个。

那么结论就是，提高单元数量的确会提高计算精度，但前提是单元类型合理高效。对于提高精度来说，更合理的方法是选用更好的单元，而不是盲目的提高单元数量。

除了网格的划分外，还有其他一些因素也会影响有限元分析的精度。例如，所选用的有限元模型、边界条件的处理方式、材料参数的准确性等都会对计算结果产生影响。因此，在进行有限元分析时，需要综合考虑这些因素，以确保得到准确可靠的结果。