Optistruct接触分析验证赫兹接触理论
接触分析与校验
接触分析与校验
赫兹公式是德国物理学家海因里希-鲁道夫-赫兹所提出的有关弹性体接触的理论公式。其主要是研究疲劳、摩擦以及任何有接触体之间相互作用的基本方程。通过该理论公式可以校核机械设计中常见的齿轮啮合、凸轮机构、滚珠轴承等机构的能力是否满足要求。
在赫兹接触问题中，由于接触区域附近的变形受周围介质的强烈约束，因而各点处于三向应力状体，且接触应力的分布呈高度局部性，随离接触面距离的增加而迅速衰减。此外，接触应力与外加压力呈非线性关系，并与材料的弹性模量和泊松比有关。
其中弹性力学基于赫兹接触应力的假设是：
(1)接触系统由两个接触的物体组成，它们不发生刚体运动；
(2)不考虑接触面的介质、不计动摩擦影响；
(3)应力、应变关系取决于线性；
(4)接触表面充分光滑。
赫兹线接触理论公式推导
①几何简化
线接触是指：两个物体相接触时，起始的接触区是一条线，在载荷作用下接触线附近的材料将发生变形，从而形成一个有限的区域接触。由于接触区域远小于物体的宏观尺寸，因而几何上和弹性参数上可以做适当的简化。
图1.圆柱与平面接触
首先如上图所示是圆柱与平面接触。圆柱半径为R，则距离中心线某一距离x处圆柱与平面间隙h可写成：
由于x/R很小，舍去上式中的高阶微量，则间隙方程为：
然后我们再将圆柱与平面接触拓展成两平行圆柱接触。设两个圆柱的半径分别为R1和R2，中心线间隙为0，具体见图2：
图2.圆柱与圆柱接触
间隙方程如下：
上式中，R为当量曲率半径，具体如下式，“+”时为图2左侧，“-”时为图2右侧
通过上文分析可知，两个任意线接触的物体在接触区附近的间隙方程可简化成：一个当量半径为R的当量圆柱与一个平面相接触的间隙方程。
②弹性模拟
若两圆柱接触的材料弹性模量分别为E1和E2，泊松比分别为v1和v2。根据弹性模拟的原则，可以用一个具有当量弹性模量E'的弹性圆柱与刚性平面相接触来代替，为：
③接触应力与接触区尺寸
如图3所示，两个弹性圆柱在载荷W作用下相互挤压，接触线扩展成为一个狭长的面。
图3.线接触应力分析
由于弹性圆柱线接触可以等效为一个当量圆柱与平面接触，因此接触区域为一个平面，接触带半宽度为：
式中，W为载荷；L为圆柱体长度；R为当量曲率半径；E'为当量弹性模量，PH为最大接触应力。在接触面区，接触应力按照半椭圆分布，具体公式如下：
通过上面的公式就可以求出圆柱间线接触的最大应力：
一般机械结构接触中，大多数接触物体为钢铁材质，所以当两材质相同时，弹性模型相同，并取泊松比为0.3，下面列出了常见结构最大赫兹接触应力计算公式(其中R2大于R1)：
圆柱结构接触仿真分析
通过OptiStruct建立两个半圆柱有限元模型，大圆半径为15mm，小圆半径为10mm，两圆柱长度都为20mm，均布载荷为180000N，大半圆柱下表面固定，然后进行仿真分析。
如上图应力值为7153Mpa,而经过赫兹接触理论计算，结果为7351Mpa，两种方法比较接近。
总结
通过上文的理论分析和有限元计算，有限元结果与赫兹接触理论计算结果接近，因此在机械设计校核时，如果摩擦力影响不大，可以通过赫兹接触理论公式进行接触应力计算。
同时在这里给大家推荐一个简单接触应力计算的网址：
